稳健性与线性合同

本文介绍 Gabriel Carroll 于2015年在《美国经济评论》上发表的论文 “稳健性与线性合同”. 这篇论文有如下两个动机:

1. 线性合同. 现实生活中的薪酬合同大多是线性的, 比如计件工资、计时工资等. 但在经典的包含道德风险问题的委托代理模型中, 委托人最优合同往往是 (高度) 非线性的.

2. 委托人关于代理人行动集的认知受限. 在标准的委托代理模型中, 往往会假设委托人精确知道代理人可能采取的所有行动 (以及这些行动对应的具体后果). 但现实中, 委托人往往对代理人的 “能力范围” 知之甚少: 代理人可能采取某个委托人未曾预料到的额外行动, 并且委托人也知道自己可能不知道这些额外行动的存在.

Carroll (2015) 假设委托人的偏好是只考虑最坏情况的悲观偏好: 委托人知道自己对代理人行动集的认识是受限的, 并希望最大化自己在最坏情况下的收益. 作者进一步论证: 此时线性合同是委托人最优的. 具体而言, 在所有可能进一步扩大的行动集中, 线性合同最大化了委托人的最低收益保障.

模型基本设定

考虑如下委托代理模型:

• 代理人选择某个行动 $a$, 该行动决定了产出 $y \in ℝ$ 的分布.

  • 记行动 $a$ 时产出的概率分布为 $F_a(y)$

• 委托人承诺某个工资合同 $w(y)$, 该合同确定了在产出为 $y$ 时付给代理人的报酬.

• 代理人和委托人的效用函数如下: $$U_A(a,w) = \mathbb{E}_a[w(y)] - c(a)$$ $$U_P(a,w) = \mathbb{E}_a[y - w(y)]$$

  • 其中 $c(a)$ 是行动 $a$ 给代理人带来的成本 (以货币单位衡量).

代理人的目标是最大化其期望效用, 委托人则不然: 她并不知道代理人的行动集 $A$, 模型中也没有给出委托人关于代理人行动集的先验信念. 因此, 此时根本无法写出委托人的期望效用.

委托人的受限认知和偏好

• 委托人仅确知一个基准行动集 $A_0$.

  • 例如, $A_0$ 可以表示一些常见的生产方案或历史观察到的行为.

• 委托人担心代理人实际上可能拥有一个更大的行动集 $A \supseteq A_0$

• 委托人的目标是最大化其在最坏可能情形下的收益

我们引入 “自然” 来描述博弈的过程:

1. 委托人选定工资合同 $w(y)$

2. 自然选择一个包含 $A_0$ 的行动集 $A$

3. 代理人从 $A$ 中选择最大化其期望收益的行动.

委托人的最优化问题如下: $$\max_{w} \; \inf_{A \supseteq A_0} \; \left( \max_{a \in A} \mathbb{E}_a[y - w(y)] \right)$$

• 最内层的 $\max_{a \in A}$ 表示代理人会选择对自己最有利的行动

• 中间层的 $\inf_{A \supseteq A_0}$ 表示自然会选择最不利于委托人的行动集 $A$.

关于最坏可能性偏好的一种常用解读:

• 自然是委托人的死敌, 总是会选择最小化委托人效用的行动.

把自然解读为委托人的死敌, 可以带来一些描述上的便利: 此时委托人的偏好其实是 “理性的”. 我们接下来会一直使用这个 “死敌” 解读; 并论证当存在自然这个死敌时, 它可以利用合同中的非线性部分来损害委托人收益.

自然的 “攻击” 策略

我们首先分析当合同是非线性时, 自然可以怎样损害委托人收益.

陷阱行动 $a^*$

假设委托人选定了非线性合同 $w(y)$, 自然想要引入一个新行动 $a^*$, 它具有如下特征:

• 确定性的产出: $a^*$ 以概率 1 产生某个特定的产出水平 $y^*$.

• 低成本: 自然将行动 $a^*$ 的成本 $c^*$ 设定为刚好低于某个阈值, 使得代理人严格偏好行动 $a^*$.

  • 具体而言, 令 $c^* = \alpha w(y^*) - \varepsilon$, 其中 $\alpha$ 是某个稍后选定的参数, $\varepsilon >0$ 充分小.

对于基准行动集 $A_0$, 代理人在合同 $w$ 下能获得的最大效用为: $$U_A^{0}(w) = \max_{a \in A_0} \left( \mathbb{E}_a[w(y)] - c(a) \right)$$

自然可以设置一个确定性行动 $a^*$ 使得: $$w(y^*) - c^* = U_A^{0}(w) + \delta$$ 其中 $\delta > 0$ 是任意小的正数. 也就是说, 代理人选择 $a^*$ 会比任何基准行动多出至少 $\delta$ 的效用. 为此, 自然只需令 $c^* = w(y^*) - U_A^{0}(w) - \delta$.

陷阱行动 $a^*$ 如何损害委托人收益

一旦代理人转向 $a^*$, 产出固定为 $y^*$, 委托人的收益变为: $$y^* - w(y^*)$$ 自然可以选择不同的 $y^*$ 来使得 $y^* - w(y^*)$ 非常小.

• 如果合同 $w(y)$ 在某些 $y$ 处有很高的斜率 (即曲线很陡), 自然可以把 $y^*$ 放在一个 $w(y^*)$ 接近 $y^*$ 的点上, 使得委托人几乎一无所获.

• 更极端地, 如果合同在某点满足 $w(y) > y$(委托人补贴代理人), 自然甚至可以令委托人的收益为负.

• 即使限制 $w(y) \le y$, 自然仍可将 $y^*$ 选在 $w(y^*)$ 几乎等于 $y^*$ 的地方.

自然的最优攻击策略

自然并不满足于只引入一个陷阱, 而是可以引入无穷多个这样的确定性行动, 覆盖所有可能的 $y$. 对于每一个 $y$, 设定成本 $c(y) = w(y) - U_A^{0}(w) - \delta$. 那么代理人将选择那个使 $w(y) - c(y) = U_A^{0}(w) + \delta$ 最大的 $y$, 实际上所有 $y$ 给出的净效用都一样(除了常数差), 但自然可以进一步微调. 关键在于, 无论代理人选择哪个 $y^*$, 委托人的收益都是 $y^* - w(y^*)$. 自然可以让这些点中的最坏情况(对委托人而言)成为代理人的选择——因为代理人只关心自己的效用, 而在所有陷阱行动中, 其效用相同, 因此可以假定代理人会按照委托人的最坏情况来打破平局.

因此, 自然可以确保委托人的收益不会超过:

$$\inf_{y} \big( y - w(y) \big)$$

但更精确地说, 由于自然还可以调整 $\delta$ 趋近于0, 实际上委托人的收益被限制在: $$\min_{y} \big( y - w(y) \big) \quad \text{或更一般地, 下确界}$$

但这还忽略了基准行动集本身可能带来的约束. 实际上, 自然的最优策略是迫使代理人选择某个产出水平 $y^*$, 使得 $y^* - w(y^*)$ 尽可能小, 同时代理人仍愿意放弃所有基准行动. 只要存在某个 $y$ 使得 $y - w(y)$ 低于基准行动下委托人的收益, 自然就能通过引入该点的确定性行动来拉低总体的下界.

关键结论: 对于任何非线性合同(除非它是线性的), 通常存在某些产出水平, 其“剩余” $y - w(y)$ 极低. 自然可以精准地把陷阱布置在这些点上, 从而使得委托人能保证的收益降至这些低点中的最小值.

四、线性合同为何能免疫攻击?

现在考虑线性合同:

$$w(y) = \alpha y + \beta$$

为简化, 通常可设 $\beta = 0$(固定工资部分不影响边际激励, 且在最坏情况分析中可以被基准行动集吸收). 因此我们关注 $w(y) = \alpha y$, 其中 $\alpha \in (0,1)$.

4.1 线性合同下的效用函数

• 代理人从任何行动 $a$ 中获得的效用: $$\mathbb{E}_a[\alpha y] - c(a) = \alpha \mathbb{E}_a[y] - c(a)$$

• 委托人的效用: $$\mathbb{E}_a[y - \alpha y] = (1-\alpha) \mathbb{E}_a[y]$$

4.2 对齐性质

注意两个表达式的关系:

$$\text{委托人效用} = \frac{1-\alpha}{\alpha} \cdot \big( \alpha \mathbb{E}_a[y] \big) = \frac{1-\alpha}{\alpha} \cdot \big( \text{代理人的毛收益} \big)$$

其中“代理人的毛收益”是指 $\alpha \mathbb{E}_a[y]$, 即未扣除成本的期望支付. 但更重要的是, 委托人的效用直接与 $\mathbb{E}_a[y]$ 成比例, 而代理人的净效用虽然还减去成本, 但代理人要最大化的是 $\alpha \mathbb{E}_a[y] - c(a)$. 如果自然引入一个新的确定性行动 $a^*$ 带来确定产出 $y^*$, 那么:

• 代理人从 $a^*$ 得到的净效用: $\alpha y^* - c^*$.

• 委托人从 $a^*$ 得到的效用: $(1-\alpha) y^*$.

为了引诱代理人选择 $a^*$ 而不是基准行动, 自然必须使 $\alpha y^* - c^*$ 至少与基准行动下的最大净效用一样高. 但这样做时, $y^*$ 必然不会太小, 因为 $c^*$ 是非负的(或至少不能为负无限). 实际上, 自然可以设置 $c^* = \alpha y^* - K$, 其中 $K$ 是基准行动下的最大代理人效用(设为 $\overline{U}$)加上一个小正数. 那么 $y^* = \frac{\overline{U} + c^*}{\alpha}$. 这里关键的是: 任何提高代理人效用的陷阱行动, 都会迫使 $y^*$ 成比例地增大, 从而委托人的收益 $(1-\alpha) y^*$ 也随之增大.

换句话说, 在线性合同下, 自然无法让代理人获得高额净收益的同时又不让委托人的收益提高. 两者被锁定在同一个尺度上. 因此, 自然根本找不到一个“对代理人好、对委托人坏”的陷阱行动. 所有可能的新行动, 只要它们能吸引代理人, 就必然也会给委托人带来至少与基准行动集下一样好的收益(甚至更好).

4.3 自然的最优选择退化为基准集

既然任何陷阱行动都无法降低委托人的收益(相对于某个基准), 自然最好的策略就是干脆不引入任何新行动, 只让代理人从基准行动集 $A_0$ 中选择. 此时, 委托人的收益就是:

$$\max_{a \in A_0} (1-\alpha) \mathbb{E}_a[y]$$

但注意, 代理人在基准集下会选择最大化 $\alpha \mathbb{E}_a[y] - c(a)$ 的行动, 这不一定与最大化 $\mathbb{E}_a[y]$ 的行动相同. 然而, Carroll 证明了我们可以调整 $\alpha$ 来使得这个最大化的结果恰好达到某个上界. 更关键的是, 对于任何给定的基准集 $A_0$, 委托人可以通过选择 $\alpha$ 来最大化下界收益.

事实上, 线性合同下委托人的最终保证收益为:

$$V_{\text{linear}} = \max_{\alpha \in [0,1]} \left( (1-\alpha) \cdot \max_{a \in A_0} \frac{\alpha \mathbb{E}_a[y] - c(a)}{\alpha} \text{? 需小心} \right)$$

更标准的表达是: 给定 $\alpha$, 代理人会选择 $a \in A_0$ 最大化 $\alpha \mathbb{E}_a[y] - c(a)$, 记该行动为 $a^*(\alpha)$, 则委托人收益为 $(1-\alpha) \mathbb{E}_{a^*(\alpha)}[y]$. 委托人选择 $\alpha$ 最大化这个值. 重要的是, 这个值就是线性合同能保证的下界, 因为自然无法做得更差.

五、上界论证: 为什么非线性合同无法超越线性合同?

我们还需要证明, 没有任何一个(可能非线性的)合同能给委托人带来比最好的线性合同更高的下界保障. Carroll 使用了一个巧妙的对偶论证.

5.1 任何合同的上界

对于任意一个合同 $w(y)$, 考虑自然按照第三节的方式构造陷阱: 对于每个可能的产出 $y$, 引入一个确定性行动, 其成本设定为使得代理人刚好无差异于基准集的最优效用. 那么代理人将选择某个 $y$, 而委托人的收益不超过:

$$\sup_{y} \big( y - w(y) \big) \text{? 不, 是最小化?}$$

实际上, 自然会让代理人选择那个对委托人最不利的 $y$, 所以委托人的收益不会超过:

$$\inf_{y} \big( y - w(y) \big)$$

但这只是下界的一个上界?需要更精确.

Carroll 证明, 对于任意合同 $w$, 存在一个概率分布 $\mu$ 在 $y$ 上(或者更准确地说, 存在一个“惩罚函数”)使得委托人的下界收益被一个线性函数的凹包络所限制. 最终, 最好的下界等于一个线性规划问题的值, 而这个线性规划的最优解恰好对应一个线性合同.

5.2 等价于一个线性规划

考虑基准行动集 $A_0$. 每个行动 $a$ 对应一对数值: $(\mathbb{E}_a[y], c(a))$. 代理人在合同 $w$ 下会选择最大化 $\mathbb{E}_a[w(y)] - c(a)$. 如果我们只考虑确定性陷阱, 自然可以迫使代理人选择某个 $y$, 其收益为 $y - w(y)$. 为了使这个下界尽可能高, 委托人需要设计 $w$ 使得 $y - w(y)$ 的最小值尽可能大, 但同时不能太高以至于代理人宁愿选择基准行动中的某个行动而放弃陷阱——这里有一个权衡.

Carroll 将问题转化为: 寻找一个函数 $w(y)$ 和一个常数 $V$, 使得:

1. 对于所有基准行动 $a \in A_0$, 有 $\mathbb{E}_a[w(y)] - c(a) \le$ 某个值(保证代理人不会从基准行动中获得太高的剩余, 否则自然会利用它);

2. 对于所有 $y$, 有 $y - w(y) \ge V$;

3. 最大化 $V$.

然后他指出, 这个问题的解是取 $w(y) = \alpha y + \beta$ 的形式, 并且 $V = (1-\alpha) \cdot \text{某个值}$. 由于线性合同能实现这个最优值, 它就是稳健最优的.

5.3 线性合同达到上界

具体来说, 定义函数:

$$f(t) = \max_{a \in A_0} \big( t \mathbb{E}_a[y] - c(a) \big)$$

这是一个凸函数(因为是一族线性函数的上确界). 那么对于任何合同 $w(y)$, 委托人的稳健收益不会超过:

$$\max_{\lambda \in [0,1]} \left( \frac{f(\lambda)}{\lambda} \right) \text{? 不准确}$$

更标准的结论是: 最优的稳健收益等于

$$\sup_{\alpha \in [0,1]} \inf_{a \in A_0} \left( (1-\alpha) \mathbb{E}_a[y] + \alpha \cdot \text{something} \right)$$

实际上, Carroll 证明线性合同 $w(y) = \alpha y - k$(其中 $k$ 是常数)可以达到由基准行动集的凸包络所决定的最大最小收益. 由于自然无法迫使线性合同下的收益低于这个值, 且任何合同都无法超越这个值, 因此线性合同是稳健最优的.

六、结论与直觉总结

6.1 核心数学机制

6.2 经济直觉

在信息不完全且委托人极度厌恶不确定性的环境下, 线性合同之所以优越, 是因为它强制了激励对齐: 代理人的边际收益与委托人的边际剩余严格成比例. 任何偏离线性的曲率都会制造出“漏洞”, 让自然有可乘之机, 将代理人引向对委托人极其不利的确定性产出. 而线性合同下, 这些漏洞被完全封死.

6.3 现实意义

这解释了为什么现实世界中常见的分成合同(如销售佣金、土地租赁中的分成制、高管股权激励)往往采用线性形式. 尽管在完全信息下, 非线性合同可能带来更高的效率, 但在面对代理人能力范围的不确定性时, 线性合同的稳健性成为压倒性的优势.

参考文献

Carroll, G. (2015). Robustness and Linear Contracts. American Economic Review, 105(2), 536–563.