最坏情况偏好与合同理论

本文介绍最坏情况偏好在合同理论中的应用. 我们从一个简单的道德风险模型出发, 先定义代理人的可能行动, 再描述委托人对代理人行动集的不确定性.

基准模型

道德风险模型中, 代理人行动 $a$ 的作用通常表现为如下两点:

行动 $a$ 所导致的代理人成本 $c \ge 0$ ;
行动 $a$ 所导致的产出分布 $F \in Δ(Y)$ , 其中集合 $Y \subseteq [0,∞)$ 为所有可能产出.

为简化分析, 假设每个行动 $a$ 对应的产出 $y$ 是确定的、不具有随机性. 此时, 代理人的行动 $a$ 可以用一个二元向量 $(y,c) \in ℝ_+^2$ 来参数化. 代理人的行动集 $A$ 为 $ℝ_+^2$ 的子集.

假设委托人对代理人的行动集具有不确定性. 根据上述关于行动集的设定, 代理人的所有可能行动集构成集合 $Ω ≡ \mathscr P(ℝ_+^2)$ , $Ω$ 即为此时的状态空间. 如果我们用贝叶斯模型, 就需要描述 $Ω$ 上的先验信念, 但由于 $Ω$ 是一个相对复杂的数学对象, 这样得到的模型往往难以求解.

为了得到能求解的模型, 一种建模技巧是假设委托人具有最坏情况偏好. 具体而言:

委托人知道代理人的真实行动集 $A$ 一定包含某个子集 $A_0$ , 但不知道代理人还有哪些额外的可能行动.
委托人的目标是最大化其在最坏可能情况下的收益.

集合 $A_0 \subseteq ℝ_+^2$ 是外生给定的, 它在最坏情况偏好中的作用类似于先验信念在期望效用偏好中的作用.

博弈顺序如下:

委托人选择工资方案 $w : Y \to ℝ$
自然选择行动集 $A \supseteq A_0$
代理人选择行动 $a = (y,c) \in A$ .

博弈结束. 双方的事后效用分别为:
- 委托人: $y - w(y)$
- 代理人: $w(y) - c$

下面两个限制是自然的:

假设 $A_0$ 包含元素 $(0,0)$ , 它对应的博弈结果为 “代理人拒绝委托人雇佣”, 此时成本和产出均为零.
假设委托人雇佣代理人干活总是有效的: 令 $A^*$ 为最优化问题 $\max_{(y,c) \in A_0} y-c$ 的解集, 有 $(0,0) \notin A^*$ .

基准模型中的最优合同

对于最坏情况偏好的一种方便解读, 是将自然描述为委托人的 “死敌”: 自然的目标是最小化委托人的效用. 在这种解读下, 持有悲观偏好的委托人其实是 “理性的”. 下面我们采用这种解读, 并论证将公司卖给代理人是委托人的最优解.

命题 1. 任取 $(c^*, y^*) \in A^*$ , 将公司按价格 $y^* - c^*$ 出售给代理人能最大化委托人在最坏情况下的效用, 该结果可以通过如下工资合同实现: $w^*(y) = \begin{cases} c^* & \text{ if } y = y^* \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$

证明. 注意到 $y^* - c^*$ 是在行动集 $A = A_0$ 下, 代理人愿意接受的最高报价. 若委托人希望将公司卖出更高价 $p > y^* - c^*$ , 当且仅当存在其它更高效的行动 $(y,c) \notin A_0$ 时, 代理人才会接受价格 $p$ . 但是, 由于自然的目标是最小化委托人效用, 自然会将代理人的行动集限制为 $A = A_0$ , 促使代理人拒绝报价. 因此, $y^* - c^*$ 是委托人卖公司的最优报价.

上述论证可进一步推广到一般工资合同 $w(y)$ 的情形. 由于自然是委托人的死敌, 当自然为代理人提供了额外行动 $(y,c) \notin A_0$ 时, 必定是因为行动 $(y,c)$ 能降低委托人的收益. 命题 1 中构造的合同不仅将代理人的最优行动限制在初始行动集 $A_0$ 内, 同时还实现了该集合上的委托人最高收益. QED.

弱占优合同与均衡筛选

我们只证明了按价格 $y^* - c^*$ 出售公司是委托人最优的, 并没有证明它是唯一的均衡结果. 当同时存在多个合同能最大化委托人的最坏情况收益时, 可以使用如下筛选准则: 不要使用弱劣势 (weakly dominated) 合同.

令 $V_P (w | A)$ 表示委托人在代理人行动集为 $A$ 时使用合同 $w$ 的收益. 为确保函数 $V_P (w | A)$ 总是良定义的, 假设当代理人对多个行动无差异时, 他总会选择最大化委托人收益的行动.

定义. 称合同 $w'$ 弱优于合同 $w$ , 若存在行动集 $\tilde A \supseteq A_0$ 使得 $V_P (w' | \tilde A) > V_P (w | \tilde A)$ 并且 $V_P (w' | A) \ge V_P (w | A)$ 对任意 $A \supseteq A_0$ 均成立.

可以验证, 命题 1 中的合同 $w^*$ 是弱劣势合同: 对任意 $α \in (0,1)$ , 它都被合同 $w(y ; α)$ 弱占优 $w(y ; α) = \begin{cases} 0 & \text{ if } y < y^* \\ c^* & \text{ if } y = y^* \\ c^* + α (y-y^*) & \text{ if } y > y^* \end{cases}$ 合同 $w(y ; α)$ 弱优于 $w^*$ 的验证思路如下:

在合同 $w^*$ 下, 代理人总会选择 $(y^*, c^*)$ ;
在合同 $w(y ; α)$ , 代理人可能会偏离行动 $(y^*, c^*)$ . 并且, 当代理人发生偏离时, 对应的产出一定为 $y > y^*$ , 此时委托人的收益为 $y^* - c^* + (1-α) (y - y^*) > y^* - c^*$ .

相比于 $w^* (\cdot)$ , 合同 $w( \cdot ; α)$ 考虑了存在比 $(y^*, c^*)$ 更有效的行动 $(y,c)$ 且 $y > y^*$ 的情形: 委托人承诺, 若实际产量超出原本预期的 $y^*$ , 则支付额外奖金 $α (y - y^*)$ . 由于 $α \in (0,1)$ , 这一奖金在激励代理人选择高产量的同时, 还保证了此时委托人收益会严格高于 $y^*-c^*$ .

注: $α = 0$ 和 $α = 1$ 对应的合同能最大化委托人最坏收益, 但它们都弱劣于 $α \in (0,1)$ 时的合同.

上述分析只考虑了更有效行动对应的产出高于 $y^*$ 时, 我们可以如何改进委托人的收益. 接下来进一步讨论更有效行动对应的产出低于 $y^*$ 的情形. 考虑如下合同: $w(y ; α, β) = \begin{cases} c^* + β (y-y^*) & \text{ if } y < y^* \\ c^* & \text{ if } y = y^* \\ c^* + α (y-y^*) & \text{ if } y > y^* \end{cases}$ 其中, $α \in (0,1)$ 且 $β > 1$ . 当产出低于 $y^*$ 时, 工资中的负项 $β (y-y^*)$ 可以视为委托人对代理人进行罚款: 产出的货币金额每降低 1 元, 罚款 $β > 1$ 元. $β > 1$ 保证了当惩罚发生时, 委托人收益会严格高于 $y^* - c^*$ ; 并且, 当代理人生产某个较低产出 $y$ 的成本足够低时, 代理人会选择生产低产量并接受惩罚.

注: $β = 1$ 对应的合同能最大化委托人最坏收益, 但它总会被某个 $β > 1$ 对应的合同弱占优.

不同于贝叶斯模型, 最优合同 $w( \cdot ; α, β)$ 中的参数 $α$ 和 $β$ 是不唯一的. 事实上, 任何 $(α, β) \in (0,1) \times (1, ∞)$ 对应的合同都能最大化委托人的最坏情况收益、并且不被其它合同弱占优.

思考. 能否证明 $w( \cdot ; α, β)$ 是唯一能最大化委托人最坏收益且不被弱占优的合同? 如果不能, 需要加哪些限制?

随机产出和代理人有限责任

模型拓展一: 加入产出不确定性. 此时的行动应表示为 $(F, c)$ , 其中 $F \in Δ(Y)$ 为产出 $y$ 的分布.

由于两个参与人都是风险中性的, 加入产出不确定性对委托人的最坏收益计算基本没有影响. 委托人仍然可以将公司按价格 $y^* - c^*$ 卖给代理人, 其中 $y^* \equiv 𝔼_{F^*} [y]$ 为 $A_0$ 中最有效行动对应 $(F^*, c^*)$ 的期望产出. 对应的工资合同为 $w(y) = y - (y^* - c^*)$ .