烧钱和向前归纳

这个例子来自于 ben-porath & dekel (1991). 我最早是在 myerson 的博弈论教科书中见到它.

约会博弈

考虑如下约会博弈, 行玩家为女生 Alice, 列玩家为男生 Bob. 两人同时选择约会地点: 商场或网咖. 两人都希望和对方约会, 无论地点是在商场还是网咖. 但是, Alice 更希望和 Bob 去商场购物, 而 Bob 则更希望和 Alice 去网咖打电竞.

           商场       网咖
商场       (5, 1)    (0, 0) 
网咖       (0, 0)    (1, 5)

这个约会博弈有两个纯策略均衡: (商场,商场) 和 (网咖,网咖).

烧钱

我们考虑一个新的两轮博弈:

  1. 第一轮 Alice 决定是否要公开烧掉两单位效用;
  2. 然后, 两人再继续上述约会博弈.

这个新的博弈仍然是完备信息博弈. 直觉上, Alice 第一期是否烧钱不会改变 Bob 在第二期的信念. Alice 烧钱是纯粹的沉没成本. 因此, 加入这个额外的公开烧钱环节, 似乎不会影响博弈的均衡结果.

向前归纳

Claim: 包含烧钱的两轮动态博弈中, 由向前归纳法可得出唯一均衡结果: Alice 第一期不烧钱, 随后两人选择 (商场,商场).

证明如下.

允许烧钱时, Alice 有四个纯策略: "烧钱"+"商场", "烧钱"+"网咖", "不烧钱"+"商场", "不烧钱"+"网咖"

开始推理:

  1. Alice 永远不会选择 "烧钱" + "网咖", 因为这个带来的收益是负的. 它是一个严格劣势策略.

  2. 鉴于1, 当 Bob 看到第一轮 Alice 选择 "烧钱" 时, Bob 应该推断 Alice 第二轮将选择 "商场"

  3. 鉴于2, 当看到 Alice 选择 "烧钱" 时, Bob 将选择 "商场"

  4. 鉴于3, Alice 永远不会选择 "不烧钱"+"网咖", 因为这最多只会得到1的收益.

  5. 鉴于4，当 Bob 看到"不烧钱"时, 他应该推断 Alice 的策略是"不烧钱"+"商场"

  6. 鉴于5, 当 Bob 看到"不烧钱"时, Bob 应该选择 "商场"

  7. 鉴于6, Alice 会选择"不烧钱"+"商场", 并获得5的收益.

读者可以将包含 Alice 烧钱的动态博弈表示为 4x4 的矩阵. 上面的推理中, 我们剔除了弱劣势 (weakly dominated) 策略. 请思考: 剔除弱劣势策略最早发生在第几步?

Answer: 3