本讲义主要参考了以下三本关于增长的教科书:

  1. Acemoglu, Daron (2008). Introduction to Modern Economic Growth. Princeton university press.

  2. Barro, Robert and Xavier Sala-i-Martin (2004). Economic Growth, 2nd edition. The MIT Press.

  3. Aghion, Philippe and Peter Howitt (2008). The Economics of Growth. The MIT Press.

Barro & Sala-i-Martin (2004) 最适合新手; Acemoglu (2008) 内容最多也最全面 (这本书可以用作一般的宏观经济学教科书).

1 内生增长模型 I: AKAK{} 模型和人力资本模型

1.1 从外生增长到内生增长

经济增长理论起源于 Ramsey (1928), Solow (1956) 和 Swan (1956).

Solow 模型的两个主要预测如下, 它们都源自 “资本的边际报酬递减”这一关键假设.

  1. 条件收敛: 人均 GDP 的起始水平相对于稳态位置越低, 增长就越快. 条件收敛这一特性源于生产函数资本边际报酬递减的假设: 人均资本较少的经济体往往具有更高的投资回报率和增长率. 之所以是条件收敛, 是因为在 Solow 模型中, 人均资本和产出的稳态水平取决于储蓄率、人口增长率和技术水平, 而这些特征可能因经济体而异.

    条件收敛是 Solow 模型中研究最为广泛的理论预测, 它对跨国经济增长差异具有较强的解释力. 不过, 关于跨国收入差异的经验研究表明, 除了 Solow 模型强调的三个变量外, 还应该考虑政府政策和人力资本初始存量这两个关键变量.

  2. 技术进步是长期经济增长的唯一源泉: 在没有持续技术进步的情况下, 人均增长最终必然停止. 单靠资本积累无法维持长期增长.

Cass (1965) 和 Koopmans (1965) 完善了 Ramsey (1928) 的工作. 相比于 Solow 模型, Ramsey–Cass–Koopmans 模型 (后文简称 Ramsey 模型) 最大的区别在于储蓄率是内生的, 均衡中的储蓄率需要通过求解家庭的跨期效用最大化问题得到.

内生增长理论的早期主要工作包括 Romer (1986), Lucas (1988) 和 Rebelo (1991). 不过, 这一时期的模型并未真正内生化经济体的技术选择 (或技术进步). 在这些模型中, 增长之所以能够长期持续, 是因为对广义资本品 (包括人力资本)的投资回报不必递减. 同时, 模型中还会考虑知识 (或人力资本) 的正外部性以及其对长期增长率的影响.

将研发活动 (R&D) 与垄断竞争引入增长框架的工作始于 Romer (1987, 1990), 随后由 Aghion 和 Howitt (1992) 进一步发展. 在这些模型中, 技术进步来源于有目的的研发投资, 研究者通过创新带来的垄断权力获得回报. 如果经济体能够不断产生 “新思想”, 增长率就可以长期保持为正. 同时, 创新活动会伴随市场扭曲, 导致均衡中的增长率和创新投入偏离帕累托最优. 在此类经济体中, 长期增长率取决于政府行为, 如税收制度、法治、基础设施供给、知识产权保护, 以及对国际贸易、金融市场的监管等.

内生经济增长这一分析框架的其它研究主题:

1.2 AKA K 模型: 社会计划者形式

我们介绍最简单的一类内生增长模型: AKAK 模型.

假设经济体的总产出由一个简单的线性生产函数决定: Yt=AKt Y_{t} = A K_{t} 其中, A>0A>0 是一个代表技术水平 (或生产率) 的外生参数. 并且, 经济体的生产要素不包括劳动.

等式两边同时除以人口 LtL_t{}, 可得到人均形式的生产函数: yt=f(kt)=Akt y_{t}=f (k_{t})=A k_{t}

社会计划者的目标是在资源约束下最大化跨期总效用. 该最优化问题与 Ramsey 模型中的问题很类似, 唯一的区别在于生产函数是资本的线性函数: maxct,kt∑t=0∞βtu(ct) s.t. ct+kt+1≤f(kt)+(1−δ)kt \begin{gathered} \max_{c_t, k_t} \sum_{t=0}^{\infty} β^t u (c_{t}) \\ \text { s.t. } \quad c_{t}+k_{t+1} \leq f (k_{t})+ (1-\delta) k_{t} \end{gathered}

该最优化问题的欧拉条件为: u′(ct)u′(ct+1)=β(1+A−δ) \frac{u^{\prime} (c_{t})}{u^{\prime} (c_{t+1})}=\beta (1+A-\delta)

为得到显式解, 假设效用函数具有恒定跨期替代弹性 (CEIS) 的形式: u(ct)=ct1−θ1−θu (c_t) = \frac{c_t^{1-θ}}{1-θ} 代入欧拉条件可得: ct+1ct=[β(1+A−δ)]1θ \frac{c_{t+1}}{c_{t}}=[\beta (1+A-\delta)]^{\frac 1 \theta} 取对数后, 可以近似得到: ln⁡ct+1−ln⁡ct=1θ[ln⁡β+ln⁡(1+A−δ)]≈1θ(A−δ−ρ) \ln c_{t+1}-\ln c_{t} = \frac 1 θ [\ln β + \ln (1+A- δ)] \approx \frac 1 \theta (A - \delta - ρ)

上式的经济学含义: 消费的增长率 (ln⁡ct+1−ln⁡ct\ln c_{t+1} - \ln c_{t}{}) 正比于资本的净回报率 (A−δA-δ{}) 和居民时间偏好率 (ρρ{}) 的差额.

经济体的资源约束可以表示为: ct+kt+1=(1+A−δ)kt c_{t}+k_{t+1}= (1+A-\delta) k_{t}

由于经济的资源约束和居民的偏好都是线性和位似的, 我们可以合理地猜测, 最优的消费和投资决策也同样是关于资本存量的线性函数 (即存在恒定储蓄率 ss{}): ct=(1−s)(1+A−δ)ktkt+1=s(1+A−δ)kt \begin{gathered} c_{t}= (1-s) (1+A-\delta) k_{t} \\ k_{t+1}=s (1+A-\delta) k_{t} \end{gathered} 其中 ss 是一个待定常数, 它必须满足 s∈(0,1)s \in (0,1).

从上述关系中, 我们还可以发现一个重要特征: ct+1ct=kt+1kt=yt+1yt \frac{c_{t+1}}{c_{t}}=\frac{k_{t+1}}{k_{t}}=\frac{y_{t+1}}{y_{t}} 这意味着在最优路径上, 消费、资本和产出都以一个相同的恒定速率增长, 即经济体处于一条平衡增长路径 (Balanced Growth Path, BGP) 上.

联立消费增长率公式和线性决策法则, 我们可以解出最优储蓄率 ss: s=β1θ(1+A−δ)1θ−1 s=\beta^{\frac 1\theta} (1+A-\delta)^{\frac 1\theta-1} 令 R=A−δR=A-\delta 表示资本的净回报率. 上式说明: 储蓄率 ss 对资本净回报率 RR 的反应, 取决于跨期替代弹性 1/θ1/θ 的大小.

最后, 为了确保经济能够实现持续增长且储蓄率 s∈(0,1)s \in (0,1), 我们需要以下两个条件:

  1. 增长条件: β(1+A−δ)>1β (1+A−δ)>1, 确保投资的净回报足够高以支撑持续增长;

  2. 储蓄率有界条件: β1θ​(1+A−δ)1−θθ<1β ^ {\frac 1 θ} ​ (1+A−δ) ^ {\frac {1-θ} θ} < 1, 确保 BGP 上的储蓄率小于 1.

1.3 AKA K 模型: 去中心化形式

接下来考虑去中心化的经济体: 资源配置由家庭和企业最优化问题的解同时决定. 假设每个企业都使用相同的生产技术: AKA K.

在完全竞争的市场中, 要素价格由其边际产出决定. 因此, 资本的租金率 rr 和工资率 ww 分别为: r=A,w=0. r=A, \quad w=0.

由于资本是唯一的生产要素, 所有产出都归资本所有. 资本的净回报率为: R=r−δ=A−δR=r-\delta=A-\delta.

代表性家庭跨期决策的欧拉方程和社会计划者完全相同: ct+1ct=[β(1+R)]1/θ \frac{c_{t+1}}{c_{t}}=[\beta (1+R)]^{1/\theta}

我们可得出以下结论: 在简单的 AKAK 经济体中, 竞争性市场均衡所达成的资源配置与社会计划者所选择的帕累托最优配置是完全一致的. 即福利经济学第一定理成立.

命题 (AK 经济体的平衡增长路径). 考虑一个具有恒定跨期替代弹性 (CEIS) 偏好的 AKA K 经济体: U=∑t=0∞βtct1−θ/(1−θ),Yt=AKt U = \sum_{t=0} ^\infty β^t c_t ^{1-θ} / (1-θ) ,\quad Y_t = A K_t 并假设参数 (β,θ,A,δ)(\beta, \theta, A, \delta) 满足 β(1+A−δ)>1>β1/θ(1+A−δ)1/θ−1\beta (1+A-\delta)>1>\beta^{1 / \theta} (1+A-\delta)^{1 / \theta-1}. 那么, 该经济体的竞争性均衡是帕累托有效的, 并且经济会呈现出一条平衡增长路径. 在该路径上, 资本、产出和消费都以一个恒定的速率增长, 该增长率由下式给出: kt+1kt=yt+1yt=ct+1ct=[β(1+A−δ)]1/θ>1 \frac{k_{t+1}}{k_{t}}=\frac{y_{t+1}}{y_{t}}=\frac{c_{t+1}}{c_{t}}=[\beta (1+A-\delta)]^{1 / \theta}>1 储蓄率为: s=β1/θ(1+A−δ)1/θ−1 s=\beta^{1 / \theta} (1+A-\delta)^{ 1/ \theta-1}

拓展: 引入人力资本

1.4 人力资本模型: 社会计划者形式

假设生产函数的投入包括物质资本 KtK_t{} 和人力资本 HtH_t{}.

产出可用于消费, 也可以用于投资物质资本或人力资本. 两种资本的积累方程分别为: kt+1=(1−δk)kt+itkht+1=(1−δh)ht+ith \begin{aligned} & k_{t+1}= (1-\delta_{k}) k_{t}+i_{t}^{k} \\ & h_{t+1}= (1-\delta_{h}) h_{t}+i_{t}^{h} \end{aligned}

人力资本模型与 AK 模型的联系:

社会计划者选择消费和两种投资的路径, 以最大化总效用. 由于存在两种资本, 我们会得到两个欧拉方程:

由于 FF 是规模报酬不变的, 边际产出 Fk(kt+1,ht+1)F_{k} (k_{t+1}, h_{t+1}) 和 Fh(kt+1,ht+1)F_{h} (k_{t+1}, h_{t+1}) 都是资本比率 κt+1=kt+1/ht+1\kappa_{t+1}=k_{t+1} / h_{t+1} 的函数.

命题 (简单人力资本模型的平衡增长路径). 在包含物质资本和人力资本的经济体中, 若经济体参数满足持续增长条件和储蓄率有界条件, 则经济体存在一条平衡增长路径. 在该路径上, 物质资本、人力资本、产出和消费均以相同的恒定速率增长. 资本的最优比率 κ*\kappa^{*} 由两类资本的无套利条件决定.

例: 如果生产函数为柯布–道格拉斯形式: F(k,h)=kαh1−αF (k, h)=k^{\alpha} h^{1-\alpha} 且折旧率相同 δk=δh\delta_{k}=\delta_{h}, 那么 FkFh=α1−αhk\frac{F_{k}}{F_{h}}=\frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{h}{k}, 由此可得最优比率为 κ*=α1−α\kappa^{*}=\frac{\alpha}{1-\alpha}.

1.5 人力资本模型: 去中心化形式

接下来讨论去中心化经济体的一般均衡.

家庭可以在物质资本、人力资本和金融债券之间自由配置资产. 家庭的预算约束可以写为: ct+kt+1+ht+1+bt+1≤(1+rt−δk)kt+(1+wt−δh)ht+(1+Rt)bt c_{t}+k_{t+1}+h_{t+1}+b_{t+1} \leq (1+r_{t}-\delta_{k}) k_{t}+ (1+w_{t}-\delta_{h}) h_{t}+ (1+R_{t}) b_{t}

家庭最优化问题的内点解中, 不同资产的回报率必须相等. 欧拉条件给出了如下无套利条件: u′(ct)βu′(ct+1)=1+Rt=1+rt−δk=1+wt−δh \frac{u^{\prime} (c_{t})}{\beta u^{\prime} (c_{t+1})}=1+R_{t}=1+r_{t}-\delta_{k}=1+w_{t}-\delta_{h}

另一方面, 各类生产要素的价格必须等于其边际产出: rt=Fk(κt,1),wt=Fh(κt,1)r_{t}=F_{k} (\kappa_{t}, 1), \quad w_{t}=F_{h} (\kappa_{t}, 1)

2 内生增长模型 II: 人力资本的外溢效应

人力资本 (或知识) 的外溢性是宏观经济学和劳动经济学中的核心议题之一. 例如, 当工程师张三从一个平均人力资本较低的环境转到一个平均人力资本更高的环境中工作时, 张三的产出一般也会上升. 大量的经验研究表明, 技术与人力资本普遍存在这种正外部性, 这种现象通常也被称为溢出效应或外溢效应 (spillover effect).

本讲将介绍两个包含外溢效应的内生增长模型, 它们的生产函数仍然是 AK 形式. 第一个是 “干中学” (learning by doing) 模型, 它涉及企业的生产技术 (或知识) 的外溢效应; 第二个是 Lucas 人力资本模型, 它强调教育培训对人力资本的促进作用 (即 learning by education), 并且模型中包含人力资本的外溢效应.

2.1 干中学与知识外溢

考虑一个离散时间、仅包含家庭和企业两个部门的去中心化经济体.

企业部门是充分竞争的, 并且每个企业的生产函数均相同: Yt=F(Kt,htLt) Y_{t}=F(K_{t}, h_{t} L_{t}) 上式的关键变量是 hth_{t}, 它表示 tt{} 时刻整个社会的平均人力资本 (或平均知识) 水平.

考虑对称均衡, 即均衡中所有企业的行为都可以表示为某个代表性企业最优化问题的解.

代表性家庭的预算约束: ct+kt+1+bt+1≤wt+(1+rt−δ)kt+(1+Rt)bt c_{t}+k_{t+1}+b_{t+1} \leq w_{t}+(1+r_{t}-\delta) k_{t}+(1+R_{t}) b_{t}

我们已经分别描述了企业和家庭最优化问题的一阶条件. 为了求解均衡, 我们还需要明确人均知识水平 hth_t 是如何决定的.

在上述设定下, 资本知识比率 κt=kt/ht\kappa_t = k_{t} / h_{t} 是时不变的: κt=1/η \kappa_{t}=1 / \eta

令 A≡rtA \equiv r_t{}. 工资率可以表示为: wt=[f(1/η)η−f′(1/η)]kt≡ωkt w_{t} = [f(1 / \eta) \eta-f'(1 / \eta)] k_{t} \equiv \omega k_{t}

将 rt=Ar_t = A 代入家庭的欧拉条件可得: u′(ct)u′(ct+1)=β(1+A−δ) \frac{u'(c_{t})}{u'(c_{t+1})}=\beta(1+A-\delta)

命题 (存在知识外溢时市场经济下的 BGP). 令 A≡f′(1/η)A \equiv f'(1 / \eta) 且 ω≡f(1/η)η−f′(1/η)\omega \equiv f(1 / \eta) \eta-f'(1 / \eta). 若 β(1+A−δ)>1>βθ(1+A−δ)θ−1\beta(1+A-\delta)>1>\beta^{\theta}(1+A-\delta)^{\theta-1} 成立, 经济体将存在一条平衡增长路径. 该路径上, 物质资本、知识、产出、工资和消费都以一个恒定的速率增长, 增长率由下式给出: yt+1yt=ct+1ct=[β(1+A−δ)]θ>1\frac{y_{t+1}}{y_{t}}=\frac{c_{t+1}}{c_{t}}=[\beta(1+A-\delta)]^{\theta}>1工资率为 wt=ωktw_{t}=\omega k_{t}, 储蓄率为 s=βθ(1+A−δ)θ−1s=\beta^{\theta}(1+A-\delta)^{\theta-1}.

2.1.1 帕累托最优配置与政策含义

现在, 我们从社会计划者的角度来考虑帕累托最优配置. 不同于单个企业的决策, 社会计划者会 “内化” 干中学所带来的正外部性.

由于知识与物质资本是成正比的 (ht=ηkth_t = \eta k_t{}), 社会计划者眼中的生产函数为: yt=F(kt,ht)=A*kt y_{t}=F(k_{t}, h_{t})=A^{*} k_{t}

由于存在知识外溢 (ω>0\omega>0), 资本的社会回报率高于其私人 (市场) 回报率: A*>A=rt A^{*}>A=r_{t}

命题 (干中学模型的帕累托最优 BGP). 令 A*≡A+ω≡f(1/η)ηA^{*} \equiv A+\omega \equiv f(1 / \eta) \eta, 并假设 β(1+A*−δ)>1>βθ(1+A*−δ)θ−1\beta(1+A^{*}-\delta)>1>\beta^{\theta}(1+A^{*}-\delta)^{\theta-1} 成立. 那么, 经济体的帕累托最优计划可以表示为一条平衡增长路径. 该路径上, 物质资本、知识、产出、工资和消费都以一个恒定的速率增长, 该增长率由下式给出: yt+1yt=ct+1ct=[β(1+A*−δ)]θ>1\frac{y_{t+1}}{y_{t}}=\frac{c_{t+1}}{c_{t}}=[\beta(1+A^{*}-\delta)]^{\theta}>1

注: 由于 A<A*A<A^{*}, 市场自发实现的增长率要低于帕累托最优的增长率. 这种由于外部性导致的市场失灵, 为政府干预提供了理论依据.

由于知识水平 hth_t 正比于资本 ktk_t{}, 政府可以通过对投资进行补贴来实现帕累托最优增长率:

  1. 政府对家庭的私人储蓄（或家庭投资的资本收益）进行补贴;

  2. 政府对企业的投资进行补贴.

2.2 Lucas 人力资本模型

“On the Mechanics of Economic Development” (Lucas, 1988) 是经济增长领域乃至整个宏观经济学中最具影响力的论文之一.

卢卡斯的这篇论文提出了两个人力资本模型: 通过学校教育积累人力资本和通过工作实践积累人力资本. 其中第一个模型受到了绝大多数学者的关注. 因此, 我们重点讨论学校教育模型. 在这个模型中, 经济体除了生产最终产品 (用于消费和积累物质资本) 的生产部门外, 还有一个专门用于生产人力资本的教育部门. 这个两部门设定存在如下特性:

  1. 它将人力资本积累的机会成本描述为接受教育所放弃的当期收入

  2. 它将人力资本的生产技术和最终产品部门的生产技术区分开来.

上述两个特性便于我们更深入地分析教育投资与经济增长之间的关系.

2.2.1 模型设定

经济体中存在两个独立的生产部门:

经济体中存在数量众多的不同技能水平的劳动者. 每个劳动者的技能水平 (或人力资本水平) 可以表示为 h>0h >0{}.

技能水平为 hh{} 的劳动者将 u(h)u(h){} 比例的时间用于生产, 1−u(h)1 - u(h){} 比例的时间用于学习.

为简化分析, 假设所有的劳动者都是同质的:

经济体需要在工作（获取收入）与学习（积累人力资本）之间分配时间:

生产函数: y(t)=Akβ(t)(u(t)h(t))1−βhaγ(t) y(t) = Ak^\beta (t) \left( u(t) h(t) \right) ^{1-\beta} h_a ^\gamma (t)

物质资本积累方程: k′(t)=y(t)−c(t)(2.1) k'(t) = y(t) -c (t)\qquad{(2.1)}

人力资本积累方程: h′(t)=B(1−u(t))h(t)(2.2) h'(t) = B (1 - u(t)) h(t) \qquad{(2.2)}

2.2.2 利用汉密尔顿求解最优化问题

社会计划者的最优化问题如下 maxc(t),u(t)∫0∞(c1−θ(t)1−θ)e−ρtdt \max_{c(t), u(t)} \int_0 ^\infty \Big( \frac{c ^{1 - θ} (t)}{1-θ} \Big) e^{- \rho t} \, dt 约束条件为: k′(t)=Akβ(t)(u(t)h)1−βhaγ−c k'(t) = Ak^\beta (t) \left( u(t) h \right) ^{1-\beta} h_a ^\gamma -c h′(t)=(1−u(t))Bh(t) h'(t) = (1 - u(t)) B h(t)

社会计划者的汉密尔顿函数: H=[c1−θ−11−θ]+λ1[Akβ[uh]1−βhaγ−c]+λ2B(1−u)h H = \left[\frac{c^{1-θ}-1}{1-θ}\right] + \lambda_{1}\left[A k^{\beta}[u h]^{1-\beta} h_{a}^{\gamma}-c\right]+\lambda_{2} B(1-u) h

该优化问题的控制变量为 c(t)c(t) 和 u(t)u(t). 一阶条件为: c−θ=λ1 c^{-θ}=\lambda_{1} λ1(1−β)Akβ[h]1−βhaγu−β=λ2Bh \lambda_{1}(1-\beta) A k^{\beta}[h]^{1-\beta} h_{a}^{\gamma} u^{-\beta}=\lambda_{2} B h λ̇1=ρλ1−λ1βAkβ−1[uh]1−βhaγ \dot{\lambda}_{1}=\rho \lambda_{1}-\lambda_{1} \beta A k^{\beta-1}[u h]^{1-\beta} h_{a}^{\gamma} λ̇2=ρλ2−λ1(1−β)Akβ[u]1−βhaγh−β+λ2Bu \dot{\lambda}_{2}=\rho \lambda_{2}-\lambda_{1}(1-\beta) A k^{\beta}[u]^{1-\beta} h_{a}^{\gamma} h^{-\beta}+\lambda_{2} B u

该优化问题的解比较复杂:

2.2.3 主要结论

  1. 存在一个关于 uu 的稳态值 u*u^*, 随着时间推移, u(t)u(t) 将收敛至 u*u^*.

  2. 长期中, 物质资本的增长率等于: [1−β+γ1−β]B(1−u*) \left[\frac{1-\beta+\gamma}{1-\beta}\right] B\left(1-u^{*}\right)

  3. 长期中, 人力资本的增长率等于: B(1−u*) B(1-u^*)

  4. 长期中, 产出与消费的增长率等于: ċc=ẏy=β[1−β+γ1−β]B(1−u*)+(1−β+γ)B(1−u*)=[1−β+γ1−β]B(1−u*)=k̇k \begin{aligned} \frac{\dot{c}}{c} &=\frac{\dot{y}}{y}=\beta\left[\frac{1-\beta+\gamma}{1-\beta}\right] B\left(1-u^{*}\right)+(1-\beta+\gamma) B\left(1-u^{*}\right) \\ &=\left[\frac{1-\beta+\gamma}{1-\beta}\right] B\left(1-u^{*}\right) \\ &=\frac{\dot{k}}{k} \end{aligned}

  5. 由于人力资本的外部性, 经济增长率与社会福利水平均低于社会最优水平. 政府补贴可以使增长率恢复至社会最优结果.

  6. 即使不考虑平均人力资本对商品生产的正外部性 (即令 γ=0\gamma = 0), 长期经济增长率仍然为正. 这一点和最初讨论的简单 AK 模型一致.

    不过, 加入该外部性使得模型更接近现实, 并且便于分析人力资本外溢性对经济增长的影响. 相关的政策建议和福利分析也非常不同.

  7. 当外部效应较大时 (如 γ>β\gamma > \beta), 模型可能存在多重均衡.

2.3 创新

在目前讨论的内生增长模型中, 经济体的长期增长依靠线性的资本积累维持. 对 “线性资本积累”的一种解释是: 模型中的“资本”既包括物质资本，也包括人力资本. 我们还分析了人力资本的外溢效应, 该效应是宏观经济学与劳动经济学中的核心议题之一.

接下来, 我们将从内生技术进步的角度来理解增长. 在这类模型中, 技术进步是企业主动投资研发的结果, 因此技术进步在模型中是内生的. 内生技术进步模型的优势在于, 我们可以将技术变迁过程与产业结构, 反垄断和知识产权等重要现实议题联系起来; 同时, 我们还能用这些模型讨论定向技术变化 (directed technological change).

经济学家对技术进步 (或创新) 的研究, 早于对经济增长本身的研究. 从这一角度看, 包含内生技术进步的增长模型, 可以视为“增长理论”与“创新” 这两个领域交叉的产物. 在正式讨论包含内生技术进步的增长模型之前, 我们先简要介绍创新相关文献中的若干重要发现. 这些结论本身很有意思, 而且它们对于理解包含内生技术进步的增长模型是有益的.

2.3.1 不同类型的创新

创新可以简单分为两类:

  1. 过程创新: 指能降低现有产品生产成本的创新, 例如通过引进新机器来提升既有产品的生产效率.

  2. 产品创新: 指创造出一种全新的产品.

现实中, 过程创新和产品创新往往并非泾渭分明. 例如, 当苹果公司推出搭载第一代 M 系列芯片的笔记本电脑时, 这个创新显然是产品创新. 不过, 苹果智能手机和电脑每年常规的更新迭代, 则更接近于过程创新. 这是因为, 这类常规产品升级往往并未引入新发明, 而只是由于供应链的完善和生产效率的提高, 使得已有技术（如更高质量的屏幕或摄像头）的生产成本下降, 从而让苹果公司得以在新机型中采用这些技术。

在产业组织模型中, 过程创新和产品创新可能会导致截然不同的均衡结果, 因为模型中消费者的支付意愿函数对产品数量和产品质量的依赖形式可以非常不同. 不过, 在增长模型中, 过程创新和产品创新在数学上没有本质区别. 这是因为, 增长模型中代表性家庭的效用函数设定隐含地假设了产品质量和数量之间可以完全替代: 无论是提高产品质量还是增加产品数量, 其对家庭福利的影响在模型中是完全相同的.

另一种创新分类方式是宏观创新与微观创新 (Mokyr, 1990).

经验研究似乎表明, 大部分生产率增长都源于微观创新, 而非宏观创新. 这个结果听起来似乎有一点反直觉, 不过它确实是大多数技术创新研究者的共识.

2.3.2 研发的利润动机和非利润动机

研发生产函数. 由于我们的目标是将技术进步内生化, 模型中的企业必须能在不同的技术之间进行选择. 通过更多的研发和技术投资, 企业往往会获得更好的技术. 这意味着, 模型中存在一个决定技术水平的元生产函数. 我们称这个 “元生产函数” 为研发生产函数. 它的输入可以包括资本和劳动, 输出则是更高的技术水平.

确定了研发生产函数后, 另一个核心问题是: 创新的主要动机是否源自利润? 对于这一问题, 历史学家与经济学家的看法存在较大分歧. 技术史研究中的叙述往往采用科学驱动的视角, 强调科学的自主演进和突破, 而较少强调利润动机 (“钱”) 在技术创新中的作用.

与此相反, 大多数经济学家强调获利机会在技术进步中的核心作用.

如果潜在的获利机会是推动创新的主要动机之一, 那么创新速度就应当取决于产品的潜在市场规模. 这一预测与经验事实高度一致.

这是一门经济学课程. 因此, 在接下来的讨论中, 我们将假定技术研发本身是一种经济活动, 研发投入是对利润激励的理性反应.

3 内生增长模型 III: 中间品种类扩张

“Endogenous Technological Change” (Romer 1990) 是本课程讨论的第一个包含内生技术进步的增长模型.

在 Romer 内生技术进步模型中, 技术进步表现为生产过程中 “中间投入品” 种类的扩张.

将技术进步等同于中间品种类的数量是一种建模方法, 它刻画了现实中技术进步的一个方面.

Romer 因其在内生增长理论方面的贡献获得了 2018 年诺贝尔经济学奖. 我推荐大家阅读诺奖委员会为 Romer (以及其共同获奖者 Nordhaus) 的研究工作撰写的非技术性通俗介绍.1

3.1 Romer 模型

接下来介绍 Romer 内生技术进步模型 (后文简称 Romer 模型) 的基本设定并求解其均衡.

模型中有三类参与人: 最终产品生产者, 研发公司和家庭.

相比于 Ramsey 模型, Romer 模型的主要技术创新在于

  1. 最终品生产过程中的中间品多样性

  2. 研发市场的垄断竞争设定

当然, Romer 的这些创新也是站在了前人的肩膀上:

3.1.1 最终品部门生产函数

最终产品的生产者拥有一种生产技术, 该技术将劳动力与多种中间投入品结合起来生产最终品. 公司 ii 的生产函数为: Yi=ALi1−α∑j=1N(Xij)α(3.1) Y_{i} = A L_{i}^{1-\alpha} \sum_{j=1}^{N}\left (X_{i j}\right)^{\alpha} \qquad{(3.1)} 其中:

关于产品多样性设定的补充说明:

最终品生产函数 (3.1) 的关键性质:

  1. 每种要素投入 (LiL_{i} 和 XijX_{i j})的边际产出递减, 并且所有要素投入共同呈现规模报酬不变.

  2. 独立性: ∑j(Xij)α\sum_j \left (X_{i j}\right)^{\alpha} 的可加分离形式意味着, 中间品 jj 的边际产出只和其自身使用量 XijX_{ij} 有关, 独立于其他中间品 j′≠jj' \ne j 的使用量.

关于独立性的进一步说明:

第 jj 种中间品的边际产出为： ∂Yi∂Xij=AαLi1−αXijα−1 \frac{\partial Y_{i}}{\partial X_{i j}} = A \alpha L_{i}^{1-\alpha} X_{i j}^{\alpha-1}

3.1.2 技术进步 ⇔\iff 中间品种类扩张

技术进步表现为 NN (中间品种类) 的提高, 而不是生产率参数 AA 的提高.

为了理解 NN 增加的效果, 假设所有中间品的使用量都相同, 即 Xij=XiX_{i j} = X_{i} (这个假设在对称均衡中是成立的).

中间品种类扩张会提高产出的直观解释:

固定劳动投入 LiL_{i}, 由对称中间投入下的生产函数 (3.2) 可知:

3.1.3 最终品生产者的要素需求

为简化分析, 后文将 NN 视为连续变量而非离散变量.

所有公司 ii{} 生产的最终品 YiY_{i} 是同质的. 令 YY{} 表示所有公司产出的总和. 我们将最终品的价格固定为 1, 即模型中所有的价格都以 (完全同质的) 最终品 YY 进行计价.

最终品公司的利润为： Yi−wLi−∫0NPjXijdj Y_{i} - w L_{i} - \int_{0}^{N} P_{j} X_{i j} \, dj

最终品市场是完全竞争的, 每个公司都是劳动力价格 ww 和中间品价格 PjP_{j} 的接受者. 公司对要素投入的需求由其最优化问题的一阶条件决定.

关于中间品 jj 的一阶条件: Xij=Li(Aα/Pj)1/(1−α)(3.3) X_{i j} = L_{i} \left (A \alpha / P_{j}\right)^{1 / (1-\alpha)} \qquad{(3.3)}

关于劳动的一阶条件: w=(1−α)YiLi(3.4) w = (1-\alpha) \frac{Y_{i}} {L_{i}} \qquad{(3.4)}

3.1.4 研发部门

新中间品源于研发部门的研发投入. 每个研发公司都面临一个两阶段决策问题:

  1. 决定是否投入资源来发明一种新专利 (即新的中间品种类). 如果新专利预期利润的净现值大于等于需要预先支付的研发支出, 公司就会选择从事研发.

  2. 研发成功后, 公司决定以何种价格将其新发明的产品出售给最终产品生产者.

基于上述分析, 我们逆向求解研发公司的决策问题.

3.1.5 阶段 2：产品发明后的最优价格

若研发公司在第 tt{} 期发明中间品 jj, 其将永久持有该中间品的专利.

在每个时刻 v≥tv \ge t{}, 研发公司的收入等于价格 Pj(v)P_{j}(v) 乘以其销售的商品数量, 利润则等于收入减去生产成本.

令 Xj(v)X_{j}(v) 表示最终品部门对中间品 jj{} 的需求, 它可以通过对每个最终品公司 ii{} 的要素需求 (3.3) 进行加总后得到: Xj(v)=[Aα/Pj(v)]1/(1−α)∑iLi=L[Aα/Pj(v)]1/(1−α)X_{j}(v) = \left[A \alpha / P_{j}(v)\right]^{1 /(1-\alpha)} \sum_{i} L_{i} = L \left[A \alpha / P_{j}(v)\right]^{1 /(1-\alpha)}

持有中间品 jj{} 专利的研发公司在时刻 vv{} 的利润为: πj(v)=[Pj(v)−1]Xj(v)(3.6)\pi_{j}(v) = \left[P_{j}(v) - 1\right] X_{j}(v)\qquad{(3.6)}

最优垄断价格由一阶条件决定: Pj(v)=P≡1/α>1P_{j}(v) = P \equiv 1 / \alpha > 1

将 Pj=1/αP_{j} = 1/α 代入要素需求函数 (3.3), 可以得到中间品 jj{} 的总产量: Xj=A1/(1−α)α2/(1−α)L X_{j} = A^{1 /(1-\alpha)} \alpha^{2 /(1-\alpha)} L

将中间品使用量代入生产函数 (3.2), 可得到总产出: Y=AL1−αXαN1−α=A1/(1−α)α2α/(1−α)LN Y = A L^{1-\alpha} X^{\alpha} N^{1-\alpha} = A^{1 /(1-\alpha)} \alpha^{2 \alpha /(1-\alpha)} L N

将均衡中的 PjP_{j} 和 XjX_{j} 代入每期的利润 (3.6), 可得到均衡中利润流的计算公式: πj(v)=π=LA1/(1−α)(1−αα)α2/(1−α) \pi_{j}(v) = \pi = L A^{1 /(1-\alpha)} \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) \alpha^{2 /(1-\alpha)}

将均衡中的 PjP_{j} 和 XjX_{j} 代入研发公司的利润净现值计算公式 (3.5), 得到发明者在 tt 时刻的利润净现值： V(t)=LA1/(1−α)(1−αα)α2/(1−α)∫t∞e−r‾(t,v)(v−t)dv(3.8) V(t) = L A^{1 /(1-\alpha)} \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) \alpha^{2 /(1-\alpha)} \int_{t}^{\infty} e^{-\bar{r}(t, v) (v-t)} d v \qquad{(3.8)}

3.1.6 阶段 1：进入研发行业的决策

一旦新产品被发明出来, 研发公司将获得方程 (3.8) 所描述的现值 V(t)V(t). 如果该现值不低于研发成本, 研发公司就会选择投入研发.

接下来明确新专利的研发成本. 为简化分析, 假设研发是无风险的:

假设发明新产品的成本是 η\eta 单位的 YY, 并且没有劳动投入.

在恒定研发成本假设下: 如果 V(t)≥ηV(t) \geq \eta, 公司就会决定投入资源进行研发.

将专利的价值 (3.8) 和 r‾(t,v)≡[1/(v−t)]∫tvr(ω)dω\bar{r}(t, v) \equiv [1 /(v-t)] \int_{t}^{v} r(\omega) d \omega 代入自由进出条件 (3.9), 并对时间 tt{} 求导可得: r(t)=πV(t)+V̇(t)V(t) r(t) = \frac{\pi}{V(t)} + \frac{\dot{V}(t)}{V(t)}

由 V(t)=ηV(t) = \eta 可得 V̇(t)=0\dot{V}(t){} = 0. 上式可进一步简化为: r(t)=πV(t)=πη r(t) = \frac{\pi}{V(t)} = \frac{\pi} {\eta}

3.1.7 家庭部门

代表性家庭最大化其总效用: U=∫0∞(c1−θ−11−θ)e−ρtdt U = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{c^{1-\theta} - 1}{1-\theta}\right) e^{-\rho t} d t 其面临的预算约束如下: a′(t)=w(t)+r(t)a(t)−c(t) a'(t) = w(t) + r(t) a(t) - c(t)

家庭最优化问题的欧拉方程: ċc=1θ(r−ρ) \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} (r - \rho)

3.1.8 求解一般均衡

在封闭经济中, 家庭的总资产等于公司的市场价值： assets(t)=ηN(t) \text{assets} (t)= \eta N (t)

两边对 tt{} 求导: d(assets)dt=ηṄ \frac{d(\text{assets})}{d t} = \eta \dot{N}

工资率由最终品部门的劳动需求 (3.4) 给出： w=(1−α)(YL) w = (1-\alpha) \left(\frac{Y}{L}\right)

我们在研发部门的决策问题中已经算出了均衡利率 (见 (3.10)), 该利率可以表示为: r=1η(1−α)α(YN) r = \frac{1}{\eta} (1-\alpha) \alpha \left(\frac{Y}{N}\right)

将均衡利率 rr 代入家庭的欧拉条件, 可得到均衡中的增长率: γ*=1θ[(Lη)A1/(1−α)(1−αα)α2/(1−α)−ρ](3.11) \gamma^* = \frac{1}{\theta} \left[\left(\frac{L}{\eta}\right) A^{1 /(1-\alpha)} \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) \alpha^{2 /(1-\alpha)} - \rho\right] \qquad{(3.11)}

方程 (3.11) 描述的 BGP 增长率仅在模型参数使得 γ*≥0\gamma^* \geq 0 时才有效.

BGP:

命题 (Romer 模型中的平衡增长路径) 考虑一个包含家庭部门、最终品部门和研发部门的连续时间、去中心化经济体. 最终品部门的生产函数为 (3.1), 家庭部门的效用函数具有恒定的跨期替代弹性, 研发部门发明新中间品的单位成本恒定为 η\eta{}, 生产一单位中间品的成本恒定为 11{}. 令 γ*=1θ[(Lη)A1/(1−α)(1−αα)α2/(1−α)−ρ], \gamma^* = \frac{1}{\theta} \left[\left(\frac{L}{\eta}\right) A^{1 /(1-\alpha)} \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) \alpha^{2 /(1-\alpha)} - \rho\right], 若模型的参数使得 γ*>0\gamma^* > 0{}, 则该经济体存在一条平稳增长路径, 消费 CC{}、产出 YY{} 和中间品种类数 NN{} 的增长率均为 γ*\gamma^*, 均衡利率为 r=(1−α)αYηNr = \frac{(1-\alpha)\alpha Y}{\eta N}.

3.2 增长率 γ*γ^* 的决定因素以及规模效应

家庭的偏好参数 ρρ, θθ 和生产效率 AA 对增长率的影响与之前在 AK 模型中的分析相同:

增长率 γ*γ^*{} 还取决于发明新产品的成本 ηη: 研发成本的降低会提高均衡增长率 γ*γ^*.

最后, 增长率 γ*γ^*{} 还取决于总人口 LL: 更多的人口 (或劳动力) LL 会提高均衡增长率 γ*γ^*.

Romer 模型中规模效应的来源: 专利 (或知识) 的非排它性

如果我们将规模与一个国家的人口或经济活动规模等同起来, 规模效应并未得到经验研究的支持:

部分支持规模效应的学者认为, 国家并不是衡量规模的合适单位. 在 Romer 模型中, “规模” 有两个可能的合适定义:

  1. 规模取决于新思想可以非排它地被使用的总生产规模；

  2. 规模取决于发明者的专利权适用范围.

如果思想很容易跨越国界流动, 那么在第一个规模的定义下, 国家不是合适的规模单位. 在第二个规模的定义下, 国家也可能是不合适的规模单位, 因为专利保护在国际上也适用.

如果世界各地在思想流动和财产权维护方面是一致的, Romer 模型中的 “规模” 应视为世界人口或世界经济活动的总和.

不过, 学界通常认为规模效应这一预测与事实不符. 因此, 许多经济学家试图修改 Romer 的框架以消除规模效应这一预测. 相关的文献总结可以参考 Jones (1999).

3.3 边际研发成本递增

此前的分析中, 我们假设研发成本恒定为 η\eta{}. 现在考虑另一种情形: 研发成本随已有专利数量增加而上升, 即 η=η(N),η′(N)>0\eta = \eta(N), \quad \eta'(N) > 0

假设研发成本具有恒定弹性形式: η(N)=ϕNσ\eta(N) = \phi N^{\sigma} 其中, ϕ>0\phi > 0 和 σ>0\sigma > 0 为外生参数.

我们重新考虑研发公司的决策问题:

将上式代入消费动态方程 (即家庭的欧拉条件): ĊC=1θ[πϕNσ+σṄN−ρ].\frac{\dot{C}}{C} = \frac{1}{\theta} \left[ \frac{\pi}{\phi N^{\sigma}} + \sigma \frac{\dot{N}}{N} - \rho \right].

为求解模型, 我们还需要 Ṅ/N\dot{N}/N 的表达式. 该模型的解析解较为复杂, 其主要结论如下:

3.4 帕累托最优配置和政策讨论

由于研发市场的垄断竞争设定, 市场经济的结果并非帕累托最优的. 接下来考虑社会计划者下的最优配置.

社会计划者的目标是最大化代表性家庭的效用, 约束条件为： Y=AL1−αN1−αXα=C+ηṄ+XY = A L^{1-\alpha} N^{1-\alpha} X^{\alpha} = C + \eta \dot{N} + X

社会计划者的生产函数与最终产品企业相同, 其将产出 YY{} 用于消费、研发和生产中间品. 社会计划者的 Hamiltonian 如下: J=u(c)e−ρt+ν1η(AL1−αN1−αXα−Lc−X)J = u(c)e^{-\rho t} + \nu \frac{1}{\eta} \left(A L^{1-\alpha} N^{1-\alpha} X^{\alpha} - Lc - X\right)

计划者的最优条件如下: XSP=A1/(1−α)α1/(1−α)LNX^{SP} = A^{1/(1-\alpha)} \alpha^{1/(1-\alpha)} L N γSP=1θ[LηA1/(1−α)(1−αα)α1/(1−α)−ρ]\gamma^{SP} = \frac{1}{\theta} \left[ \frac{L}{\eta} A^{1/(1-\alpha)} \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) \alpha^{1/(1-\alpha)} - \rho \right]

由 XSPX^{SP} 可得社会计划者的产出为: YSP=A1/(1−α)αα/(1−α)LNY^{SP} = A^{1/(1-\alpha)} \alpha^{\alpha/(1-\alpha)} L N

市场经济的低效率来源于研发企业的垄断势力.

在长期增长率方面, 市场经济均衡中的增长率 γ*γ^{*} 同样和社会计划者解 γSPγ^{SP} 相差 α1/(1−α)\alpha^{1/(1-\alpha)} 倍.

若政府能设计一种税收 + 补贴制度, 使得 (a) 中间品价格等于边际成本且同时 (b) 保持创新激励, 则可在市场经济中实现社会最优. 下面三种政策有助于提高长期增长率.

1.补贴中间品购买

2.补贴最终产品

3.补贴研发

增长政策若要有效, 除了需精准对垄断定价环节进行补贴外, 还要以无扭曲的方式筹资 (如转移支付). 若政府对产出征税, 其带来的负面效果反而可能会抵消补贴带来的正面效果.

3.5 小结

  1. 链接: https://www.nobelprize.org/uploads/2018/10/advanced-economicsciencesprize2018.pdf↩︎

  2. Dixit–Stiglitz 垄断竞争模型直接 “催生” 了两个诺奖级成果: Romer 增长模型和 Krugman 贸易模型. Stiglitz 已因其在信息经济学方面的贡献获得诺奖, 而 Dixit 至今 (2025年) 仍未获奖.↩︎