Efron 的骰子

现有四个骰子: A, B, C, D. 每个骰子有六个面, 每个面印的数字如下:

• 骰子 A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
• 骰子 B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
• 骰子 C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
• 骰子 D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

现使用骰子 A 和骰子 B 比大小. 对每个骰子, 每个面朝上的概率均为 1/6. 不难看出, 骰子 A 击败骰子 B 的概率为 2/3 (> 1/2). 也就是说, 骰子 A 更可能获胜, 记为 A ≻ B.

可以验证, 二元关系 ≻ 不满足传递性. 因为:

• 骰子 A ≻ 骰子 B
• 骰子 B ≻ 骰子 C
• 骰子 C ≻ 骰子 D
• 骰子 D ≻ 骰子 A

这个例子由统计学家 Bradley Efron 发现. 我很喜欢他的 Computer-Age Statistical Inference 这本书.

最后, Efron 的这个例子似乎过于"复杂"了. 读者可自行验证, 用三个三维向量就足以构造出违背传递性的例子 (当然, 只有三个面的话造不出"公平"骰子).