集体行动问题

“一个和尚挑水喝, 两个和尚抬水喝, 三个和尚没水喝.” 这句话描述的正是集体行动问题: 人少时分工明确, 容易达成目标; 人多时相互推脱, 反倒难以成事.

关于集体行动问题的早期研究中, 最有影响力的应该是 Olson (1965).¹ Olson 的主要研究动机来自对社会制度的思考: 在一个大多数人都具有共同目标的民主社会中, 集体行动是否总能达成? 在 Olson 之前的讨论中, 人们一般默认此时集体行动总是能达成的, 即民主社会的弊端不在于效率, 而在于公平 (可能发生 “多数迫害少数”).

Olson 对此提出了不同看法: 随着社会规模的扩大, 每个成员的意见也变得相对不那么重要, 成员的参与意愿随之下降, 进而导致集体行动反而难以达成. 在 Olson 的论述中, “搭便车问题” 是导致集体行动问题的根源, 这和 “三个和尚没水喝” 的原因是一样的.

用今天的观点来看, Olson 分析的是完备信息博弈, 而真实的集体决策往往伴随信息不完备: 小和尚们决定是否下山打水时, 不一定能确定山下是否真的有水; 如果山下没有水, 选择 “偷懒” 反而是集体最优的, 毕竟 “下山打水” 是有成本的. 当然, 如果我们选择打开 “不完备信息” 这个魔盒, 那么任何情况都有可能在均衡中发生 :)

集体行动问题与私人信号的相似性

Basak, Deb 和 Kuvalekar (2025) 讨论了一类不完备信息集体行动博弈, 重点分析了参与人私人信号相似性对均衡中能否达成集体行动的影响. 他们的主要结论是: 该影响的正负性取决于另一个重要变量, 即原目标本身是否难以实现. 具体而言:

• 当目标较难实现时, 集体行动的主要阻碍是协调问题, 此时更相似的私人信号有利于协调参与人的行动, 促进集体行动的达成;

• 当目标容易实现时, 集体行动的主要阻碍是搭便车问题, 此时更相似的私人信号反而会相对提高参与人的搭便车激励, 进而阻碍集体行动.

接下来介绍 Basak, Deb & Kuvalekar (2025) 的引入例子. 这个例子的状态只有两种可能情形, 方便对参与人的信号相似度进行简单的代数分析.

模型设定

• 两个参与人 ($A$ 和 $B$) 正在合作一个项目. 该项目要么是高质量: $\theta=1$, 要么是低质量: $\theta=0$.

• 先验分布: 状态 $θ$ 服从集合 {1, 0} 上的均匀分布.

• 参与人 A 和 B 私下观察到关于项目质量的私人信号 $X_i$ ($i \in \{ A,B \}$). 具体而言:

  • 若 $θ=0$, 则$X_i$ 的取值一定为 $0$, $\forall i \in \{ A,B \}$.

  • 若 $θ=1$, 则$X_i$ 的取值可能为 0 或 1. 令 $P$ 表示此时联合信号 $(X_A, X_B)$ 的联合分布.

  • 假设分布 $P$ 是可交换的, 即 $P(1,0) = P(0,1)$. 注意, 联合分布 $P$ 下参与人的私人信号可以存在相关性.

• 每位参与者有两种可能行动: 干活 (work) 或偷懒 (shirk). 干活需承担额外成本 $c > 0$, 偷懒则无需承担成本.

• 如果两人都工作, 则项目一定能完成; 如果只有一人工作，项目以概率 $q \in (0,1)$ 完成; 如果无人工作, 项目不可能完成.

• 若项目完成, 每个参与人获得额外收益 $θ \in \{ 0,1 \}$, 即高质量项目带来的回报更高. 虽然低质量项目不值得投入努力 (它的回报为 0), 但可怜的参与人事先并不知道项目的真实质量.

搭便车问题和协调问题

不同状态下 ($\theta = 0,1$) 的收益矩阵均可表示为下表:

参数 $q \in (0,1)$ 刻画了项目的难易程度:

• 当 $q$ 接近 1 时, 即使只有一人干活项目也很可能完成, 此时项目的难度很低.

• 当 $q$ 接近 0 时, 只有一人干活时项目很难完成,
  此时项目的难度很高.

若已知项目为高质量 ($θ=1$), 该完备信息博弈的均衡性质由参数 $q$ 决定:

• 当 $q$ 接近 0 时, 一个人难以完成项目, 需要两人齐心协力. 此时该完备信息博弈为协调博弈: “两人都偷懒” 或 “两人都干活” 均构成纳什均衡.

• 当 $q$ 接近 1 时, 一个人单干就能大概率完成该项目, 此时该完备信息博弈为搭便车博弈: 每个人都有搭便车的激励, 不存在纯策略均衡.

分析求解

接下来求解不完备信息下, 每个参与人私下收到私人信号时的均衡. 我们只关注对称的纯策略贝叶斯均衡.

为了简化分析, 默认参与人在收到差信号 ($X_i=0$) 后一定会选择偷懒.

• 当工作的成本 $c$ 足够高时, 这个设定是合理的.

• 给定上述设定, 只需分析每个参与人收到好信号 ($X_i=1$) 时的决策. 注意收到好信号时, 参与人依概率 1 相信项目为高质量 (即 $θ = 1$).

由于我们只关注对称均衡, 如果要达成集体行动, 收到好信号时参与人的均衡行动应为 “干活”. 然而, 即使 A 相信项目是高质量的 (并且他能从高质量项目的完成中获益), A 仍有搭便车的激励: 如果 A 相信 B 也收到了好信号并选择干活, 当 $q$ 足够高时, A 的最优选择仍然是不干活.

我们重点讨论以下两个问题:

1. 有效均衡对参数范围的限制: 在何种参数范围下，均衡中参与人观察到好信号时会选择工作?

2. 关于信息结构 $P$ 的比较静态分析: 如果 A 和 B 的私人信号变得更加相似, 会如何影响均衡?

   • 信号更 “相似” 意味着参与人的私人信号能更好地预测对手的信号, 进而推测对手的行动.

在有效均衡中, 对任意参与人 $i \in \{ A,B \}$ 而言, 其看到好信号 ($X_i = 1$) 后选择干活的收益为 $\Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1) + q \Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1) - c$, 选择偷懒的收益为 $q\Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1) + 0 \cdot\Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1)$,

因此, 参与人 $i$ 选择干活需满足的条件为: $$(1-q) \Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1 ) + q \Pr(X_{-i} = 0 | X_i = 1) \ge c \quad (\star)$$

方程 $(\star)$ 的经济学直觉:

• 如果 B 工作, A 工作的边际回报为 $1-q$; 如果 B 不工作, A 工作的边际回报为 $q$.

• 方程 $(\star)$ 的左边为 A 干活的 (期望) 边际回报, 只有该回报大于等于努力成本 $c$ 时 A 才会工作.

• 因此, 努力的边际贡献取决于两个要素: 项目难易程度 $q$ 以及对对手是否工作的信念, 后者由参与人的信号相似度决定 (即 $(X_{-i} = 1 | X_i = 1 ) $).

如果条件概率 $\Pr (X_{-i} = 1 | X_i = 1 )$ 足够低, 即收到好信号时参与人 i 认为对手大概率不会工作, 此时参与人 i 努力的边际回报与 $q$ 正相关. 基于这个观察, 我们可以得出以下结论:

命题1: 存在某些特定参数 (较低的努力成本 $c$ 和使得条件概率 $\Pr (X_{-i} = 1 | X_i = 1 )$ 很低的联合分布 $P$) 使得对所有足够高的 $q$ (即 $q \ge q^*$ for some $q^*$), 该博弈都存在如下均衡: 看到好信号时选择干活, 看到坏信号时选择偷懒.

命题 1 回答了问题一, 接下来进一步分析问题二: 当参与人看到相同信号的概率增加时会如何影响均衡? 这个问题的答案同样蕴含于方程 $(\star)$, 我们可以将方程 $(\star)$ 中的条件概率解读为信号相似度: $$\text{干活的边际回报} = (1-q) \underbrace{\Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1)}_{\text{随相似性增加而} \uparrow} + q \underbrace{\Pr(X_{-i} = 0 | X_i = 1)}_{\text{随相似性增加而} \downarrow}$$

上式说明:

• 在信号相似性较低时 (即 $\Pr(X_{-i} = 1 | X_i = 1)$ 较低而 $\Pr(X_{-i} = -1 | X_i = 1)$ 较高), 看到好信号时努力的边际贡献 (即条件 $(\star)$ 的左手边) 与 $q$ 是正相关的. 此时, 只有当 $q$ 足够高时, 参与人才愿意工作.

• 在信号相似性较高时, 情况恰恰相反: 只有当 $q$ 足够低时, 参与人才愿意工作.

直观逻辑:

• 当 $q$ 较高时, 一个人的努力很可能就足以完成项目, 此时搭便车问题是集体行动的主要障碍. 在这种设定下, 增加信息相似性一般是有害的, 因为 A 在看到好信号后, 会认为 B 收到好信号的概率变高, A 的搭便车激励也更强.

• 当 $q$ 较低时, 一个人难以完成该项目, 此时协调问题是集体行动的主要障碍. 在这种设定下, 增加信息相似性一般是有益的, 因为 A 在看到好信号后, 会认为 B 收到好信号的概率变高, 两人更愿意协调到 (干活, 干活) 这个最优解.

参考文献

1. Mancur Olson (1965), The Logic of Collective Action: Public Goods and the Theory of Groups. Harvard University Press.

2. Deepal Basak, Joyee Deb and Aditya Kuvalekar (2025), Similarity of Information and Collective Action, forthcoming at AER.