贝叶斯相关均衡 II: 例子

前文介绍了贝叶斯相关均衡 (BCE) 的定义以及 BCE 的三种不同解读:

(1) 布莱克威尔比较定理在多人决策情形下的拓展;

(2) 当研究者不了解参与人的额外信息结构时, 可将所有 BCE 的集合视为博弈结果的稳健预测;

(3) 信息设计的理解视角: 信息设计者通过提供额外信息结构, 所能实现的贝叶斯均衡结果 = 原博弈的 BCE, 原博弈的 BCE 可以用概率约束+遵从约束刻画.

本文介绍三个BCE的例子. 第一个例子涉及稳健预测的视角, 后两个例子则是基于信息设计的视角.

例1: 单人决策

这个例子来自 B&M (2013). 考虑如下单人决策问题:

考虑如下对称信息结构:

令 σ=(σ00,σ01,σ10,σ11)σ = (\sigma_{00}, \sigma_{01}, \sigma_{10}, \sigma_{11}) 表示决策规则. 其中, σij∈[0,1]\sigma_{i j} \in [0,1] 表示状态和类型为 (θi,tj)(θ_i, t_j) 时, 协调者建议选择行动 a0a_0{} 的概率.

上述不确定过程对应的分叉路径如下, 其中每个路径上的标记为对应概率:

tikz code 
\usetikzlibrary{patterns,calc}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3,font=\footnotesize]
\tikzstyle{solid node}=[circle,draw,inner sep=1.5,fill=black]
\tikzstyle{hollow node}=[circle,draw,inner sep=1.5]
\tikzstyle{level 1}=[level distance=15mm, sibling distance=1cm]
\tikzstyle{level 2}=[level distance=15mm, sibling distance=1.5cm]
\tikzstyle{level 3}=[level distance=15mm, sibling distance=1.5cm]
\node(0)[solid node,label=above:{}]{}
    child[grow=down]{node[solid node, label=below:{${θ}_1$}]{}
        child[grow = left]{node(1)[solid node, label=below right:{ }]{}
            child{node[hollow node, label=left:{ }]{}
            edge from parent node[above]{${\sigma}_{10}$}
            }
            child{node[hollow node, label=left:{ }]{}
            edge from parent node[below, yshift=-0.13cm]{$1 - {\sigma}_{10}$}
            }
        edge from parent node[above]{$1-q$}
        }
        child[grow = right]{node(2)[solid node, label=below left:{ }]{}
            child{node[hollow node, label=right:{ }]{}
            edge from parent node[below, yshift=-0.13cm]{$1 - {\sigma}_{11}$}
            }
            child{node[hollow node, label=right:{ }]{}
            edge from parent node[above]{${\sigma}_{11}$}
            }
        edge from parent node[above]{$q$}
        }
    edge from parent node[right, xshift=4, align=center]{ } 
    }
    %% up branches
    child[grow=up]{node[solid node, label=above:{${θ}_0$}]{}
        child[grow = left]{node(3)[solid node, label=above right :{ }]{}
            child{node[hollow node, label=left:{ }]{}
            edge from parent node[above]{${\sigma}_{00}$}
            }
            child{node[hollow node, label=left:{ }]{}
            edge from parent node[below, yshift=-0.13cm]{$1 - {\sigma}_{00}$}
            }
        edge from parent node[below]{$q$}
        }
        child[grow = right]{node(4)[solid node, label=above left :{ }]{}
            child{node[hollow node, label=right:{ }]{}
            edge from parent node[below, yshift=-0.13cm]{$1 - {\sigma}_{01}$}
            }
            child{node[hollow node, label=right:{ }]{}
            edge from parent node[above]{${\sigma}_{01}$}
            }
        edge from parent node[below]{$1-q$}
        }
    edge from parent node[right, xshift=4, align=center]{ }
    };
    \node at (0,0.751) [right] {$1/2$};
    \node at (0,-0.751) [right] {$1/2$};

    \node at (1.50, 1.50) [above] {$t_1$};
    \node at (-1.50, 1.50) [above] {$t_0$};
    \node at (1.50, -1.50) [below] {$t_1$};
    \node at (-1.50, -1.50) [below] {$t_0$};

    \node at (3.01 , 2.24) [right] {$a_0$};
    \node at (3.01 , 0.74) [right] {$a_1$};
    \node at (3.01 , -2.24) [right] {$a_1$};
    \node at (3.01 , -0.74) [right] {$a_0$};


    \node at (-3.01 , 2.24) [left] {$a_0$};
    \node at (-3.01 , 0.74) [left] {$a_1$};
    \node at (-3.01 , -2.24) [left] {$a_1$};
    \node at (-3.01 , -0.74) [left] {$a_0$};
\end{tikzpicture}
图 1: 小径分叉的概率世界

若 σσ 构成BCE, 其对应的四个不等式约束 (即遵从约束) 如下: (a0,t0):12qσ00≥12(1−q)σ10(a1,t0):12(1−q)(1−σ10)≥12q(1−σ00)(a0,t1):12(1−q)σ01≥12qσ11(a1,t1):12q(1−σ11)≥12(1−q)(1−σ01) \begin{array}{llll} (a_{0}, t_{0}): & \frac{1}{2} q \sigma_{00} & \geq & \frac{1}{2}(1-q) \sigma_{10} \\ (a_{1}, t_{0}): & \frac{1}{2}(1-q)(1-\sigma_{10}) & \geq & \frac{1}{2} q(1-\sigma_{00}) \\ (a_{0}, t_{1}): & \frac{1}{2}(1-q) \sigma_{01} & \geq & \frac{1}{2} q \sigma_{11} \\ (a_{1}, t_{1}): & \frac{1}{2} q(1-\sigma_{11}) & \geq & \frac{1}{2}(1-q)(1-\sigma_{01}) \end{array}

这四个遵从约束, 加上四个概率约束 σij∈[0,1]\sigma_{i j} \in [0,1], 刻画了所有的贝叶斯相关均衡 σσ{}.

均衡结果图示

令 ν=(ν0,ν1)ν = (ν_0,ν _1 ) 表示博弈结果, 其中 νi\nu_{i}{} 表示状态 θiθ_i{} 时选择行动 a0a_0{} 的概率. 显然, 最理想的博弈结果是 ν=(1,0)ν = (1,0){}, 此时决策者的效用为 1.

(ν0,ν1)(ν_0,\nu_1) 是均衡结果, 当且仅当存在满足四个遵从约束+四个概率约束的 σ=(σ00,σ01,σ10,σ11)σ = (\sigma_{00}, \sigma_{01}, \sigma_{10}, \sigma_{11}){} 使得 ν0=qσ00+(1−q)σ01\nu_0 = qσ_{00} + (1-q) σ_{01} ν1=(1−q)σ10+qσ11.\nu_1 = (1-q) σ_{10} + q σ_{11}.

接下来我们将关于 σσ 的八个约束翻译为关于 (ν0,ν1)(\nu_0, \nu_1) 的约束.

上面这三个不等式, 最强的是 ν0≥ν1+2q−1ν_0 \ge ν_1 + 2q - 1. B&M (2013) 宣称, 这个不等式刻画了所有均衡结果.

下图表示了不同信号准确度 qq 下的所有均衡结果, 即满足 ν0≥ν1+2q−1ν_0 \ge ν_1 + 2q - 1 的 (ν0,ν1)(\nu_0, \nu_1){}. 粗黑点表示准确度 qq 下对应的贝叶斯均衡结果.

图 2: 不同先验信念 q{} 下的BCE

可以看出, 随着 qq 不断变大, 得到的三角形 (ie, 均衡结果集) 严格变小. 当 q=1q=1{} 时, 均衡结果集坍缩为 (1,0)(1,0).

解读 “不断缩小的三角形”

将这个例子和布莱克威尔的单人决策模型进行对比. 最开始准确度为 qq{} 的公开信息结构可以视为第一个布莱克威尔实验, 随后协调者的行动建议是第二个布莱克威尔实验.

只有第一个实验时, 均衡结果为贝叶斯均衡, 即图中的黑点. 直觉上, 加入第二个实验后, 决策者效用只可能变多(或不变), 不可能变小. 图 2 中的三角形包括了所有决策者效用不严格上升的情形.

最后, 从稳健预测的角度来看: 若研究者仅知晓第一个公开信息结构, 但无法排除决策者拥有其它未知信息结构的可能性. 那么, 为给出博弈结果的稳健预测, 研究者给出的预测集是很宽泛的. 该预测集对应整个蓝色三角形区域.

例 2: 贝叶斯劝说

上面的例 1 稍加修改后, 就可以变成 K&G (2011) 中的法官–检察官例子: θ0θ_0 和 θ1θ_1 分别代表无罪和有罪, a0a_0 和 a1a_1 表示法官的判决 (这里的决策者是法官).

K&G (2011) 例子的不同之处在于: 第一个公开信息结构 S 是平凡的, 并且法官的先验信念不是均匀分布. 不过, 基本分析方式是完全相同的. 我们可以先刻画出所有 BCE 对应的三角形, 这个三角形就是检察官通过信息设计所能诱导的所有博弈结果. 在确定了检察官的偏好之后, 检察官从所有可能的 BCE 中选择他最偏好的结果即可.

令 pp{} 表示法官认为嫌疑犯无罪 (θ0θ_0{}) 的先验概率. 遵从约束为: (a0)pν0≥(1−p)ν1 (a_0) \qquad p \nu_0 \ge (1 - p) \nu_1 (a1)p(1−ν0)≤(1−p)(1−ν1) (a_1) \quad p (1 - \nu_0) \le (1 - p) (1 - \nu_1 ) 上面两个不等式约束加上两个概率约束 ν0,ν1∈[0,1]\nu_0, \nu_1 \in [0,1]{} 即可得到所有 BCE 构成的三角形.

K&G (2011) 的例子中, 检察官只有在法官选择 a1a_1{} 时才获得正效用 11. 因此, 其效用为 p(1−ν0)+(1−p)(1−ν1)p (1-ν_0) + (1-p) (1 - ν_1), 它在 ν0\nu_0{}–ν1\nu_1{} 平面上的无差异曲线为一族平行线. 给定某个具体的先验信念 pp{} 后, 可以画出 BCE 三角形和检察官的无差异曲线. 当 p<1/2p < 1/2 时, 检察官最偏好 BCE 三角形的左下顶点, 这个点就是贝叶斯劝说博弈中的均衡结果.

例3: 多人决策

这个例子来自 Taneva (2019). 考虑如下极具对称性的 2×2×22 \times 2 \times 2{}博弈:

参与人不同状态下的效用如下表所示:

θ=θ0θ=θ_{0} a0a_{0} a1a_{1}
a0a_{0} 2,22, 2 1,01, 0
a1a_{1} 0,10, 1 0,00,0
θ=θ1θ=θ_{1} a0a_{0} a1a_{1}
a0a_{0} 0,00,0 0,10, 1
a1a_{1} 1,01, 0 2,22, 2

每个状态 θkθ_{k} 对应的 (完备信息) 博弈均为协调博弈: 参与人都想选择行动 aka_k{}, 并且 aka_k{} 是严格占优策略.

原(不完备信息)博弈存在三个对称贝叶斯均衡:

信息结构

引入第三个参与人: 信息设计者. 设计者总希望两位参与人行动不一致: 若 ai=aja^i = a^j, 设计者效用为 00; 否则, 设计者效用为 11.

如果信息设计者不提供额外信息, 即使均衡结果为设计者最优的贝叶斯均衡 (每个参与人按均等概率选择 a0a_0 和 a1a_1), 其效用也只有 1/2.

信息设计者可以通过控制信息披露, 来实现他所希望的 BCE 结果. 考虑如下对称的决策规则 σ(⋅∣θ)σ (\cdot \mid θ){}, 它仅包含 q,rq,r{} 两个参数:

σ(⋅∣θ0)σ(\cdot \mid θ_{0}) a0a_{0} a1a_{1}
a0a_{0} rr q−rq-r
a1a_{1} q−rq-r 1−2q+r1-2 q+r
σ(⋅∣θ1)σ(\cdot \mid θ_{1}) a0a_{0} a1a_{1}
a0a_{0} 1−2q+r1-2 q+r q−rq-r
a1a_{1} q−rq-r rr

刻画所有对称BCE

接下来刻画所有对称贝叶斯相关均衡 σσ{}, 只需描述参数 (q,r)∈[0,1]×[0,1](q, r) \in [0,1] \times [0,1] 的可能取值即可. BCE 集合由遵从约束和概率约束确定, 其对应的 (q,r)(q,r) 如下图所示.

设计者最喜欢的结果是 (q,r)=(1,0)(q,r) = (1,0) 或 (0,1)(0,1){}. 但是, 这两个结果不是 BCE. BCE 集合可以看成是信息设计者的 “选择集”, 他可以通过信息设计来选择其最偏好的 BCE 结果.

下图平行的斜线表示设计者的无差异曲线, 设计者的最优 BCE 为三角形右下顶点: (3/5,1/5). 此时, 每个状态下两个参与人行动不一致的概率均为 4/5. 因此, 设计者的效用为 4/5.

确定了设计者最优贝叶斯相关均衡 σ*σ^* 后, 可以进一步反推出最优信息结构. 在这个二元对称例子中, 最优信息结构 π(a|θ)=σ*(a|θ)\pi(a|θ) = σ^* (a|θ){}.

结语

一些较复杂的 bce “例子”:

  1. “Robust predictions in games with incomplete information,” (Bergemann&Morris, 2013). 这篇论文只算了”一个”例子: 存在连续多个参与人, 每个参与人收到一个私人高斯信号, 且参与人效用函数为二次式的不完备信息博弈.

  2. “Robust Predictions in Coasian Bargaining,” (liu, 2022). 这篇文章讨论了科斯议价博弈中的 bce.

从论文标题可以看出, 这两篇文章都是从 “稳健预测” 的视角来使用bce 的. 如果你对 bce 的具体应用或计算感兴趣, 欢迎和我讨论.