2026/06/22 #写作

阅读 《Lua Programming Gems》, 前言中的这段话于我心有戚戚焉:

• “[…] the authors write clearly, modestly, and even deftly. […] Rather than show off their expertise or indulge in private jokes, habits common for authors from other domains, the authors of Lua Programming Gems focus on the specific details and examples that best teach their chosen topics.”

我自己在写作时, 有时也会不自觉地炫技、夹杂一些自以为有趣的行话或 “内部梗”. 事后重读时, 才发现这些基本都属于糟糕的写作: 不仅不有趣, 还会给读者带来理解上的障碍.

当然, 所有关于写作的规则都有例外. 比如, Kreps 教授的教科书基本上都是絮絮叨叨的风格, 在那些对微观理论兴趣不大的读者眼中, 这种啰里八嗦的写法可能也会有炫技之嫌, 至少不如 MWG 或 Rubinstein 的教材来得清爽. 但作为读者, 我很喜欢 Kreps 的这种写作风格.

2026/06/15 #概率

介绍 De Finetti 的概率记号法, 参考自 这本教材.

1. 用同一个符号表示集合与其对应的示性函数.

   令 $Ω$ 为全集, 集合 $A$ 的示性函数定义为 $$\mathbb 1_A (ω) = \begin{cases} 1 & \text{ if } ω \in A ;\\ 0 & \text{ othwise.} \end{cases}$$ 由于 $A$ 与 $\mathbb 1_A (ω)$ 存在天然的对应关系, 故直接用记号 $A$ 表示示性函数.

2. 概率和期望用同一符号.

   由于 $ℙ (A) = 𝔼 [\mathbb 1_A]$, 故可统一记号, 直接用记号 $ℙ$ 表示期望 $𝔼$.

   虽然 $ℙ$ 原本是个测度 (定义在 $σ$-代数上), 而 $𝔼$ 定义在随机变量上, 但对示性函数而言两者是相等的; 可以进一步论证, 对一般的随机变量, $ℙ (A) = 𝔼 [\mathbb 1_A]$ 也成立, 因为勒贝格积分本身就是通过对简单函数逼近得到的.

概率和期望用同一符号的好处之一, 是很多不等式的证明会变得十分清爽. 比如:

• Markov 不等式: $ℙ[|X| ≥ a] ≤ ℙ[|X|] / a$.

  • Hint: 令 $A = \{ ω: |X| ≥ a \}$, 注意到 $|X(ω)| /a \ge \mathbb 1_A (ω)$ 恒成立, 两边同时取期望即可.

• Chebyshev 不等式: $ℙ[|X-μ|≥ε] ≤ ℙ[(X-μ)²]/ε²$

我记得我最初学习概率论时, 教授就是用示性函数的技巧证明上述两个不等式.

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