证明 vNM 定理

单调偏好

定义 (单调性). 令 $⪰$ 表示某个彩票集 $L(Z)$ 上的偏好, 令 $a, b \in Z$ 为两个可能结果. 称偏好 $⪰$ 是单调的, 若 $$\begin{split} & a \succ b \text{ 且 } 1 > α > β > 0 \implies \\ &\quad (α \circ a, (1-α) \circ b) ≻ (β \circ a, (1 - β) \circ b) \end{split}$$

上面定义条件中的 $a \succ b$ 指决策者认为退化彩票 $(1 \circ a)$ 严格优于 $(1 \circ b)$. 单调性这个要求很自然: 对于定义中的两个二元彩票, 决策者一般总会更喜欢好结果 $α$ 发生概率更高的彩票.

为什么 vNM 公理中没有要求单调性呢? 因为独立性本身已经蕴含了单调性.

引理 1. 令 $⪰$ 表示某个彩票集 $L(Z)$ 上的偏好. 若 $⪰$ 满足独立性, 则 $⪰$ 一定也满足单调性.

下面给出引理 1 的证明, 其关键在于如何使用独立性这个条件; 具体而言, 我们需要将彩票 $α δ_a ⊕ (1-α) δ_b$ 和 $β δ_a ⊕ (1-β) δ_b$ 表示成复合彩票的形式, 然后对它们使用独立性公理.

阅读证明之前, 读者不妨先自行尝试证明引理 1. 下面的定义 $p_a$, $p_b$ 以及等式 $(\star)$ 为证明前的提示.

• $p_α := α δ_a ⊕ (1-α) δ_b$
• $p_β := β δ_a ⊕ (1-β) δ_b$
• $\frac β α p_α \oplus (1 - \frac β α) δ_b = β δ_α \oplus (\frac β α - β) δ_b \oplus (1 - \frac β α) δ_b = p_β \quad (\star)$

证明: 令 $1 > α > β > 0$ 并假设存在结果 $a, b \in Z$ 使得 $a \succ b$. 由上方 $p_α$ 的定义以及独立性可得, $p_α \succ (1 \circ b)$ (想想为什么). 继续使用独立性条件可得: $$p_α = \frac β α p_α \oplus (1 - \frac β α) p_α \succ \frac β α p_α \oplus (1 - \frac β α) δ_b = p_β$$ QED.

期望效用偏好蕴含着独立性和连续性

vNM 定理说的是, 若我们希望偏好 $\succeq$ 为期望效用偏好, 独立性和连续性这两个要求既是充分的、也是必要的. 我们先证明必要性.

引理 2 (必要性部分). 期望效用偏好一定满足独立性和连续性.

引理 2 的证明很直接. 令 $u(z)$ 为期望效用偏好 $⪰$ 对应的效用函数. 对任意彩票 $p = ⊕_{k=1}^K α_k δ_{z_k}$, 我们可以计算其期望效用 $U(p) := ∑ _{k=1}^K α_k u({z_k})$. 对连续性和独立性的验证, 都可以转换为 关于彩票期望效用 $U(p)$ 的代数计算. 这两个性质的验证都是很直接的; 由于独立性公理的描述相对复杂一些, 下面给出关于独立性的验证.

对彩票 $p = ⊕_{k=1}^K α_k {z_k}$, 我们将 其中的结果 $z_1$ 替换为彩票 $β x ⊕ (1 - β) y$, 进而得到复合彩票 $$q = α_1 (β x ⊕ (1 - β) y) ⊕ α_2 z_2 ⊕ \dots ⊕ α_K z_K$$ 我们需要验证: $p \succeq q$ 当且仅当 $z_1 \succeq β x ⊕ (1 - β) y$. 具体验证步骤如下: $$⊕_{k=1}^K α_k {z_k} \succeq α_1 (β x ⊕ (1 - β) y) ⊕ α_2 z_2 ⊕ \dots ⊕ α_K z_K$$ $$\iff$$ $$∑_{k=1}^K α_k u({z_k}) \ge α_1 β u(x) + α_1 (1 - β) u(y) + α_2 u(z_2) + \dots + α_K u(z_K)$$ $$\iff$$ $$α_1 u(z_1) \ge α_k β u(x) + α_k (1-β) u(y)$$ $$\iff$$ $$z_1 \succeq βx ⊕ (1-β)y$$

独立性和连续性蕴含着期望效用表示

最后, 我们给出充分性部分的证明, 这个证明依赖引理 1.

引理 3 (充分性部分). 若偏好关系 $⪰$ 满足独立性和连续性, 它一定是期望效用偏好.

证明: 对所有可能结果进行编号: $Z = \{ z_1, ..., z_K \}$. 不妨假设 $z_1 \succeq z_2 \succeq \dots \succeq z_K$.

若 $z_1 \sim z_K$, 则由独立性可知, 对任意彩票 $p \in L(Z)$ 均有 $p \sim z_1$. 此时, 决策者对所有彩票均无差异, 取效用函数 $u(z_k) = 0$, $\forall k = 1,...,K$, 由 $U(p) = ∑_{z \in Z} p(z) u(z) = 0$ (对所有 $p \in L(Z)$) 定义的函数 $U$ 表示了该偏好关系.

另一方面, 若 $z_1 \succ z_K$, 则由连续性可知, 对任意结果 $z$ 均存在一个数 $u(z)$ 使得 $z \sim u(z) z_1 \oplus (1 - u(z)) z_K$. 由单调性 (引理 1) 可知, 数 $u(z)$ 是唯一的. 因此, 函数 $u: Z \to ℝ$ 是良定义的. 对任意彩票 $p \in L(Z)$, 令 $U(p) = \sum_{z \in Z} p(z) u(z)$. 我们接下来说明函数 $U$ 是偏好 $⪰$ 的效用表示: $p ⪰ q \iff U(p) \ge U(q)$.

由于决策者对退化彩票 $z_k$ 和彩票 $u(z_k) z_1 \oplus (1 - u(z)) z_K$ 无差异, 对彩票 $p = ⊕_{k=1}^K p(z_k) z_k$ 使用 $K$ 次独立性公理可得: $$p \sim ⊕_{k=1}^K [p(z_k) (u(z_k) z_1 \oplus (1 - u(z)) z_K)]$$ 该复合彩票等价于如下二元彩票: $$\left( ∑_{k=1}^K p(z_k) u(z_k) \right) z_1 \oplus \left( 1 - ∑_{k=1}^K p(z_k) u(z_k) \right) z_K.$$ 由于 $z_1 \succ z_K$, 引理 3.1 表明, 决策者关于彩票 $p$ 和 $q$ 的偏好等价于比较数值 $∑_{k=1}^K p(z_k) u(z_k)$ 和 $∑_{k=1}^K q(z_k) u(z_k)$. QED.