求解最优化问题 $\mathcal{M}$

委托人的含约束最优化问题 $\mathcal{M}$

$$\begin{array}{rlr} \max\limits_{w_{1},w_{0} \in {\mathbb{R}}} & p_{1}\left( \pi_{1} - w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)\left( \pi_{0} - w_{0} \right) & \\ \text{ subject to } & p_{1}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)u\left( w_{0} \right) - l \geq \underline{u}\quad & \text{ (IR) } \\ & \left( p_{1} - p_{0} \right)\left\lbrack u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \right\rbrack \geq l\quad & \text{ (IC) } \end{array}$$

• 开始求解前, 不妨先代入具体参数, 用计算机软件画图得出约束 (IR) 和 (IC) 的具体区域 (见课程网站给出的图例)
  
• 事实上, 如果给定了模型参数 (效用函数 $u$, 概率 $p_{1}$, 公司收益 $\pi_{1}$, 等等), 常见的数值计算软件都可以直接求解最优化问题 $\mathcal{M}$.
• 这样得到的解是数值解

数值解 v.s. 解析解

不过, 在经济学研究中, 只有数值解通常是不够的.

• 我们需要找到含约束最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解析解, 即内生变量 (合同工资) 关于外生变量的表达式
• 该二元模型的解析解: 满足 (IR) 和 (IC) 约束且最大化公司期望利润的激励合同 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 的表达式

我们以方程 $x^{2} = a$ 为例说明数值解和解析解的不同.

• 解析解: $x = \sqrt{a}$

• 数值解:
  • 代入 $a = 2$, 数值解为 $x = 1.414$;
  • 代入 $a = 3$, 数值解为 $x = 1.732$;
  • …
  • 数值解不需要给出 (内生变量) $x$ 的表达式, 并且通常都是非精确解

经济学模型通常只关注解析解:

• 一般来说, 只有得到了解析解, 才能进行比较静态分析, 并进一步刻画均衡的福利性质

但数值解也很有用:

• 借助计算机, 数值解通常容易求得. 因此, 实际研究中, 我一般会先代入具体的参数算一些具体的数值例子. 根据这些数值解, 去猜可能的解析解.
• 对于很多经济学模型, 解析解有时很难得到, 这时我们称这个问题是难以求解的 (intractable).
  对于难以求解的模型, 如果能找到高效的数值解算法, 也是很大的贡献.

求解委托人最优化问题

我们试着找出最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解析解. 注意到:

1. 公司总是希望支付尽可能低的工资 $w_{1},w_{0}$
2. 约束 (IR) 在 $w_{1},w_{0}$ 均较高时才成立
3. 约束 (IC) 在 $w_{1}$ (显著)高于 $w_{0}$ 时才成立

不等式约束

约束 (IC) 和 (IR) 都是不等式约束.

• 若不等式约束 (IC) 在某个合同 $(w_0, w_1)$ 处取到等号, 则称约束 (IC) 在 $(w_0, w_1)$ 处是紧的 (binding);
• 否则, 称约束 (IC) 是非紧的或松的 (non-binding, slack).

记 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 为最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解

• 解的存在性由极值定理保证.

我们接下来证明, 在 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处, 约束 (IC) 和 (IR) 都是紧的.

(IR) 约束是紧的

引理一: 在最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解$\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处, 约束 (IR) 一定是紧的.

• (反证) 反设约束 (IR) 在 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处是非紧的.

• (微扰) 我们可以将 $w_{0}^{\ast}$ 和 $w_{1}^{\ast}$ 分别降低 $\varepsilon_{0}$ 和 $\varepsilon_{1}$.

• 存在 $\varepsilon_{0} > 0$ 和 $\varepsilon_{1} > 0$, 使得 $\left( w_{0}^{\ast} - \varepsilon_{0},w_{1}^{\ast} - \varepsilon_{1} \right)$ 也满足 (IR) 和 (IC) 约束. (为什么?)

• 公司提供合同 $\left( w_{0}^{\ast} - \varepsilon_{0},w_{1}^{\ast} - \varepsilon_{1} \right)$ 可以获得更高的利润. 矛盾.

(IC) 约束是紧的

引理二: 在最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处, 约束 (IC) 一定是紧的.

证明方式仍然是微扰法, 具体思路如下:

• 反设 $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处 (IC) 是松的. 根据引理一, $\left( w_{0}^{\ast},w_{1}^{\ast} \right)$ 处 (IR) 约束是紧的.

  • 我们不能同时下调 $w_{0}^{\ast}$ 和 $w_{1}^{\ast}$, 否则会违反 (IR).

• (微扰) 将 $w_{1}$ 下调 $\frac{1 - p_{1}}{u'\left( w_{1} \right)}\varepsilon$, 将 $w_{0}$ 上调 $\frac{p_{1}}{u'\left( w_{0} \right)}\varepsilon$

• 证明 (留作习题): 只要 $\varepsilon > 0$ 足够小, 通过上述微扰得到的新工资合同仍然满足 (IC) 和 (IR) 约束, 并且严格提高了公司的期望利润.

最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解

(IR) 和 (IC) 约束均取等号时: $$p_{1}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)u\left( w_{0} \right) = \underline{u} + l$$ $$\left( p_{1} - p_{0} \right)\left\lbrack u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \right\rbrack = l$$

$\implies$ 两个等式和两个未知数 ($u(w_0)$ 和 $u(w_1)$):

• 紧的 (IR) 条件决定了张三的效用水平 $\underline{u} + l$
• 紧的 (IC) 条件决定了 $w_{1}$ 和 $w_{0}$ 的差值

联立求解, 得到 $w_{1}^{\ast}$ 和 $w_{0}^{\ast}$, 再代入最优化问题的目标函数可以求得公司的期望利润.

令 $l = 1$, 联立紧的 (IR) 和 (IC) 条件可得: $$u\left( w_{0}^{\ast} \right) = \underline{u} - \frac{p_{0}}{p_{1} - p_{0}}\quad\quad u\left( w_{1}^{\ast} \right) = \underline{u} + \frac{1 - p_{0}}{p_{1} - p_{0}}$$

公司对应的期望利润: $$p_{1}\left( \pi_{1} - w_{1}^{\ast} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)\left( \pi_{0} - w_{0}^{\ast} \right)$$

公司最优合同

最优化问题 $\mathcal{M}$ 求解的是公司最优激励合同

• 激励合同下, 张三会接受公司的雇佣 (由 IR 约束保证) 并且努力干活 (由 IC 约束保证)
• 问: 最优激励合同一定是公司的最优合同么?

答: 不一定.

• 最优化问题 $\mathcal{M}$ 的解, 是公司最优的激励合同 (雇佣张三并且张三会努力干活)
• 还存在两种其它可能的 “角点解”
  1. 不使用激励合同, 只支付基本工资. (此时没有 IC 约束, 张三在均衡中一定会偷懒)
  2. 公司不雇佣张三 (此时没有 IC 和 IR 约束)

情形一: 公司使用最优激励合同: $w_{1}^{\ast}$ 和 $w_{0}^{\ast}$

情形二: 公司仅支付基本工资, 不使用激励合同.

• 基本工资 $w$ 的值由张三的参与约束决定: $u(w) = \underline{u}$

• 以下因素均可能导致公司放弃使用激励合同:

  1. 张三非常厌恶风险

     • 随着张三的风险厌恶程度上升, 公司必须支付更高的额外激励 ($\Delta w = w_{1} - w_{0}$) 才能满足激励相容约束.

  2. 努力干活带给张三的负效用太大

  3. 努力干活带给公司的边际收益 ($\left( p_{1} - p_{0} \right)\left( \pi_{1} - \pi_{0} \right)$) 不高

情形三: 不雇佣张三

• 如果张三的保留效用 $\underline{u}$ 过高, 或者张三负责的项目带给公司的收益很低, 公司雇佣张三的边际成本可以大于雇佣张三带来的边际收益.

  • 此时, 公司的最优选择是不雇佣张三.

  • 最优工资合同为 $w = 0$.

公司的最优合同肯定是以上三种情形之一.

具体是哪种情形, 由模型的参数决定:

• 张三的效用函数 $u(w)$
• 张三的保留效用: $\underline{u}$
• 努力工作带给张三的负效用: $l$
• 张三工作带给公司的期望利润:
  • 成功概率: $p_{1}$, $p_{0}$
  • 项目收益: $\pi_{1}$, $\pi_{0}$