筛选: 求解卖家最优化问题

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卖家最优化问题

$$\max_{q_{L}, p_{L}, q_{H}, p_{H}}\alpha_{L}(p_{L}-c(q_{L}))+\alpha_{H}(p_{H}-c(q_{H}))$$ 约束条件: $$\begin{aligned} & θ_{L} q_{L}-p_{L} & \geq θ_{L} q_{H}-p_{H}, &\quad (\text{IC}_L) \\ & θ_{H} q_{H}-p_{H} & \geq θ_{H} q_{L}-p_{L}, &\quad (\text{IC}_H) \\ & θ_{L} q_{L}-p_{L} & \geq 0, &\quad (\text{IR}_L) \\ & θ_{H} q_{H}-p_{H} & \geq 0 &\quad (\text{IR}_H) \end{aligned}$$

正式求解前, 先画图定性分析.

两类消费者的无差异曲线

如果忽略激励相容条件, 在仅考虑参与约束的第一最优解中, 两类产品质量 $q^{FB}_{H}$ 和 $q^{FB}_{L}$ 由消费者无差异曲线和卖家等利润线的切点决定: $$C'(q^{FB}_{H}) = θ_H, \quad C'(q^{FB}_{L}) = θ_L$$

• 请自行在上图的基础上画出卖家等利润线和第一最优解

容易验证:

1. $q^{FB}_{H} > q^{FB}_{L}$ (这一点由成本函数 $C (q)$ 严格凸保证)
2. 第一最优解违背了高类型消费者的激励相容条件: $θ_H q_H^{FB} - p_H^{FB} > θ_H q_L^{FB} - p_L^{FB}$.
3. 第一最优解没有违背低类型消费者的激励相容条件.

定性分析 (or 画图分析)

从第一最优解出发, 为了防止高类型模仿低类型, 卖家可以从下面两个方面对销售方案进行调整:

1. 降低高类型产品价格 $p_H$, 即对高类型消费者让利.
2. 在维持紧 $IR_L$ 约束的前提下, 降低低类型产品质量 $q_L$ 和价格 $p_L$.
   • 由于高类型消费者的支付意愿更高, 上述调整会让 $(q_L, p_L)$ 对高类型消费者的吸引力降低.

基于定性分析, 我们可作出如下推测: 一个性质良好的均衡 (即内点解) 将具有以下性质：

1. 约束 $\text{IR}_L$ 是紧的: 低类型消费者的无差异曲线通过原点 (消费者对于 “买” 和 “不买” 无差异)
2. 约束 $\text{IR}_H$ 是松的: 高类型消费者的均衡净效用严格为正.

不同于第一最优解, 激励相容约束迫使卖家对高类型消费者让利, 因此均衡中高类型消费者获得正剩余.

• 通常将该正剩余称为高类型消费者获得的信息租 (information rent)

均衡推导

断言.

1. $\text{IR}_L$ 和 $\text{IC}_H$ 蕴含着 $\text{IR}_H$; 换言之, 约束 $\text{IR}_H$ 是冗余的.
2. $\text{IC}_L$ 和 $\text{IC}_H$ 蕴含着 $q_H \ge q_L$
3. 若均衡中 $q_H \ne q_L$, 两个激励相容约束 ($\text{IC}_L$ 和 $\text{IC}_H$) 有且只有一个是紧的.

上述三个断言的证明过程相对直接, 主要涉及不等式的操作, 此处证明从略.

由于 $q_H \ge q_L$, 存在两种可能的均衡类型.

1. $q_H \ge q_L > 0$, 卖家同时服务两类消费者.
   • 均衡中, $\text{IR}_L$ 是紧的, $\text{IR}_H$ 是松的.
   • $q_H > q_L$: 分离均衡
   • $q_L = q_H$: 混同均衡. 此时卖家放弃价格歧视

2. 卖家放弃低类型 $θ_L$ 消费者, 只服务高类型 $θ_H$ 的消费者.
   • $q_L=p_L=0$, 对应角点解的情形.
   • 均衡中, $\text{IR}_H$ 是紧的.

拉格朗日函数 $$\begin{aligned} L = & \alpha_{L}(p_{L}-c(q_{L}))+\alpha_{H}(p_{H}-c(q_{H})) + \\ & \lambda_{L}[θ_{L} q_{L}-p_{L}-(θ_{L} q_{H} -p_{H})]+\lambda_{H}[θ_{H} q_{H}-p_{H}-(θ_{H} q_{L} -p_{L})] + \\ & \mu_{L}[θ_{L} q_{L}-p_{L}]+\mu_{H}[θ_{H} q_{H}-p_{H}]. \end{aligned}$$

一阶条件: $$\begin{aligned} -\alpha_{L} c'(q_{L})+\lambda_{L} \theta_{L}-\lambda_{H} \theta_{H}+\mu_{L} \theta_{L} & =0 \quad (1)\\ \alpha_{L}-\lambda_{L}+\lambda_{H}-\mu_{L} & =0 \quad (2)\\ -\alpha_{H} c'(q_{H})-\lambda_{L} \theta_{L}+\lambda_{H} \theta_{H}+\mu_{H} \theta_{H} & =0 \quad (3)\\ \alpha_{H}+\lambda_{L}-\lambda_{H}-\mu_{H} & =0 \quad (4) \end{aligned}$$

均衡中的 $q_{H}$

• 内点解中, $\text{IR}_H$ 是松的: $\mu_{H}=0$.
• 由一阶条件 (4): $\mu_{H}=0$, 且 $\lambda_{L} \geq 0$ $\implies$ $\lambda_{H}>0$.
• 两个激励相容约束中只有一个是紧的 $\implies$ $\lambda_{L}=0$
• 一阶条件 (4): $\lambda_{H}=\alpha_{H}$.
• 一阶条件 (3) 意味着 $q_{H}$ 满足 $c'(q_{H})=\theta_{H}$

注意, $c'(q_{H})=\theta_{H}$ 对应第一最优解的产品质量.

均衡中的 $q_{L}$

从 $\lambda_{H}=\alpha_{H}$ 和条件(2) 可得 $\mu_{L}=1$.

最后, 由一阶条件 (1) 可得 $$c'(q_{L})=\frac{θ_{L}-\alpha_{H} θ_{H}}{(1-\alpha_{H})}$$

这个式子也给出了内点解的成立条件: $θ_{L}>\alpha_{H} θ_{H}$

• 如果 $θ_{L} \leq \alpha_{H} θ_{H}$, 均衡时一定有 $q_{L}=p_{L}=0$. 即卖方的产品只覆盖类型 $θ_{H}$ 消费者, 而不覆盖类型 $θ_{L}$ 的消费者.

均衡价格

确定了均衡中的商品质量 $q_L$ 和 $q_H$ 后, 商品价格 $p_{L}$ 和 $p_{H}$ 由紧 $\text{IR}_L$ 条件和紧 ${IC}_{H}$ 条件决定.

• 两个等式联立可以直接求出 $p_{L}$ 和 $p_{H}$, 不需要再使用一阶条件.

比较静态分析

问: 随着 $\alpha_H$ 变大 (即高类型消费者比例变多), 最优筛选合同会如何变化?

• 随着 $\alpha_{H}$ 的增加, $q_L$ 会不断下降, 直到 $q_L=0$ (即完全放弃低类型消费者市场)
• $q_H$ 不变, $p_H$ 变高
• $q_L$, $p_L$ 均变低

假设成本函数为二次函数: $\frac{1}{2} c q^{2}$. 下图反映了(内点解中) $\alpha_{H}''$ 和 $\alpha_{H}'$ 下的最优合同, 其中 $\alpha_{H}''>\alpha_{H}'$

比较静态分析

高类型消费者比例从 $\alpha_{H}'$ 提高到 $\alpha_{H}''$, 新均衡中 $θ_H$ 的无差异曲线向上平移 (卖家下调信息租), 这进一步导致 $p_L$, $q_L$ 上升.

提高高类型消费者比例 $α_H$ 对均衡的影响:

• 随着高类型消费者变多, 卖方倾向于提高 $p_H$, 降低均衡中高类型消费者的信息租
• 为了维持 $\text{IC}_H$ 条件, 卖方必须使低价值合同对高类型消费者的价值降低: 降低 $q_L$ 或降低 $p_L$
• 为了维持条件 $\text{IR}_L$ 来留住低类型消费者, 卖方会同时降低 $q_{L}$ 和 $p_{L}$, 新的均衡中 $\text{IR}_L$ 仍是紧的.
• 当高类型消费者比例 $α_H$ 足够高时, 均衡退化为角点解情形: 卖家只服务高类型消费者, 即 $q_{L}$ 和 $p_{L}$ 均为零.

小结

• 当低类型消费者占比足够小时, 卖家会放弃低类型消费者市场, 只服务高类型消费者市场.
  • 文字解释: 如果卖家同时服务两类消费者, 激励相容条件下必须给高类型消费者让利 (支付信息租). 如果低类型消费者市场很小, 卖家会放弃这些”蝇头小利”, 转而只服务高类型消费者, 这时不必给高类型消费者让利.
• 内点解中, 低类型消费者的剩余永远为零, 高类型消费者的剩余为正, 并且商品质量 $q_H$ 是社会最优的.
  • Binding at the bottom; no distortion at the top (最低类型消费者的 IR 是紧的, 最高类型消费者的商品质量是社会最优的)
• 高类型消费者的激励相容约束是紧的.