线性激励合同: 模型设定和第一最优解

• 信息经济学
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模型设定

• 委托人: 公司

• 代理人: 打工人张三

• 连续行动: 张三选择努力程度 $a \in [ 0,\infty)$

• 连续产出: 张三的努力程度 $a$ 决定了产出 (公司利润) $q \in ℝ$ 的分布.
  • 假设 $q = a + \varepsilon$, 其中 $\varepsilon \sim N\left( 0,\sigma^{2} \right)$.
  • 努力程度越高, 结果为高产出的概率越高.

线性工资合同

• 道德风险问题:

  • 公司提供的工资只能由产出 $q$ 决定, 不能由张三的行动 $a$ 决定.

• 线性 (工资) 合同: $w(q) = w_{0} + bq$

  • 线性合同仅由两个参数 $w_{0}$ 和 $b$ 决定: $w_{0}$ 是固定工资, $b$ 是奖金率.
  • 理论上, 工资合同 $w(q)$ 也可以是非线性的. 不过线性合同的数学形式比较简单、便于分析, 并且它在现实中很常见.

• 问: 现实生活中有哪些线性工资合同 (即 “计件工资”) 的例子? 你的例子中应体现 (给定投入下) 产出的不确定性.

  • 高校科研奖励 (比如一篇论文奖励 10 万)
  • 律师, 医生等专业服务 (比如一台普通手术报酬5千, 一起诉讼案报酬2万, 等等)

动态博弈

1. 公司提供线性合同: $w(q) = w_{0} + bq$.

2. 张三选择是否接受合同 $w(q)$:

   • 如果张三接受, 则博弈进入下一个时点.
   • 如果张三拒绝, 博弈结束. 张三获得保留效用 $\underline{U} < 0$, 公司获得利润 0.

3. 张三选择努力程度 $a \in [ 0,\infty]$.

4. 公司和张三均观测到产出 $q = a + \varepsilon$, 其中 $\varepsilon \sim N\left( 0,\sigma^{2} \right)$.
   公司按照合同 $w(q)$ 支付报酬给张三, 博弈结束.

效用函数

公司是风险中性的, 其目标是最大化期望利润.

• 公司利润函数为 $q - w(q)$

张三是风险厌恶的, 并且他的效用函数满足恒定绝对风险规避 (CARA): $$-\exp \Big( - r[ w(q) - C(a) ] \Big) \equiv - e^{- r[w(q) - C(a)]}$$

其中:

• 张三的努力成本: $C(a) = ca^{2}/2$, 参数 $c > 0$ 是外生给定的; 参数 $r > 0$ 衡量了张三的绝对风险厌恶程度
• 努力成本 $C(a)$ 以(负)货币的形式进入张三的效用函数

逆向归纳法

用逆向归纳法求解公司的最优合同.

1. 在观察到线性合同 $\left( w_{0},b \right)$ 后, 张三选择行动 $a^{*}$ 来最大化其期望效用.
2. 公司预期到张三的行动 $a^{*}$, 选择合同 $\left( w_{0},b \right)$ 来最大化其期望利润.

求解方法类似双寡头先后定产的斯塔克伯格模型.

基准情形: 无道德风险

先分析不存在道德风险的基准 (benchmark) 情形:

• 公司可以直接监督张三的行动

• 此时, 公司可以通过设计工资合同, 来直接规定公司所希望的努力程度 $\hat a$.

  • 如果张三的努力程度不等于 $\hat a$, 就不支付任何报酬
  • 此时, 只要该合同满足 IR 约束, 张三就一定会选择努力程度 $\hat a$.

• 公司的最优合同只包含两个参数:

  • (公司所希望的) 张三努力程度 $a$
  • 当张三的努力程度为 $a$ 时, 公司支付的报酬 $w$

• 记此时的合同为 $(a,w)$

基准情形: 公司最优合同

给定合同 $(a,w)$:

$$𝔼\left[ - \exp( - r\left( w - C(a) \right)) \right] \geq \underline{U}\quad\mathrm{\text{(IR)}}$$

更高的工资会减少公司的利润, 因此均衡中 (IR) 约束是紧的: $$\implies w^* (a) = C(a) - \frac{\ln(-\underline U)}{r}$$

• 上述方程给出了公司的最优基本工资 $w^* (a)$ 作为张三行动 $a$ 的函数.

• 公司的最优化问题简化为选择某个最优行动 $a$
• 将 $w^* (a)$ 代入公司的目标函数: $𝔼[ a + \varepsilon - w] = a - C(a) + \frac{\ln ( - \underline{U})}{r}$

• 公司的最优化问题: $\max_{a \ge 0 } a - ca^{2}/2$
• 一阶条件: $1 - c a^* = 0 \implies a^* = 1/c$

无道德风险时, 公司的最优合同: $$a^{*} = \frac{1}{c} \quad\quad w^{\ast} = - \frac{\ln\left( - \underline{U} \right)}{r} + \frac{1}{2c}$$

基准情形: 第一最优 (First-best) 结果

• 无道德风险时, 均衡结果实现了最大化社会总福利的第一最优 (first-best) 分配.

  • 这里的 “社会” 只包括两个参与人: 张三和公司

• 最大化社会福利体现在两个方面:

  1. 努力选择 $a^*$ 是社会最优的, 即它的社会边际成本 $=$ 社会边际收益
     • 努力的边际成本为 $C'(a^*) = 1$
     • 由于 $q = a + ε$, 努力的边际收益恒定为 1
  2. 风险的分配方式是社会最优的
     • 张三拿固定工资 $w^{\ast}$, 不承担任何风险; 公司承担所有风险.
     • 解释: 由于张三是风险厌恶的, 而公司是风险中性的, 让张三承担风险一定不是社会最优的.

• 我们接下来会看到, 当存在道德风险问题时:

  • 张三的均衡努力程度不再是社会最优的;
  • 同时, 均衡中张三也会承担风险 (因为张三的工资会和产出 $q$ 挂钩)

• 一般称上述包含道德风险的均衡结果是第二最优的 (second-best).

• 相较于第一最优的基准情形结果, 包含道德风险时的均衡存在福利损失.

  • 这类福利损失一般可以笼统地归结为由信息不对称所导致

关于术语翻译: First-best 和 second-best

• 有些资料将 first-best 翻译为 “最优”, 将 second-best 翻译为 “次优”.

• 我反对将 first-best 翻译为 “最优”, 因为它会和最优反应中的最优 (optimal) 搞混. 显然, first-best 的意思和 optimal 的意思非常不同.

  • 我个人偏好将 first-best 直译为 “第一最优”, 这也是部分中文书籍使用的翻译.

• 不过, second-best 这个词翻译成 “第二最优” 或 “次优” 似乎都没有问题. 由于 “次优” 比较好读, 我在口头交流中也经常用这个翻译.

题外话: “first-best” 和 “second-best” 这两个术语, 至少可以追溯到柏拉图和亚里士多德这对师徒关于知识论 (如何获取真理) 和政治哲学 (何为最佳政体) 的讨论.

限于课时, 我们不做进一步展开. 不过, 如果同学们此前没有读过柏拉图的作品, 建议务必读一读《理想国》与《斐多篇》. 如此, 大学生活也算没有虚度.