参考答案: 作业 4

1. 留作习题的课堂练习

1(a) 二元信号博弈

• 分离均衡中, 雇主可以识别不同类型的求职者, 支付给低类型和高类型求职者的工资分别为 $w_L = 1$ 和 $w_H = 2$. 为确保均衡成立, 此时我们只需检查求职者的激励相容条件.

  高类型求职者的激励相容条件: $$w_H - E^*/2 \ge w_L \implies E^* \le 2$$ 低类型求职者的激励相容条件: $$w_L \ge w_H - E^* \implies E^* \ge 1$$ 综上, 分离均衡当且仅当 $E^* \in [1,2]$ 时存在.

• 对教育征税时, 高类型求职者的激励相容条件变为 $$w_H - E^*/2 - t E^* \ge w_L \implies E^* \le \frac{1}{t+1/2}$$ 低类型求职者的激励相容条件变为: $$w_L \ge w_H - E^* - t E^* \implies E^* \ge 1/(1+t)$$ 综上, 分离均衡当且仅当 $E^* \in [1/(1+t), 1/(0.5+t)]$ 时存在.

1(b) 教育具有人力资本功能情形

• 有效分离均衡中, 两类求职者的教育选择 $E_1^*$ 和 $E_2^*$ 都是社会最优的, 企业支付的工资分别为 $s_1 (E^*_1)$ 和 $s_2 (E^*_2)$. 我们需要证明, 高类型求职者 (类型 2) 不愿意伪装为低类型求职者: $$s_2 (E^*_2) - c_2 (E^*_2) \ge s_1 (E^*_1) - c_2 (E^*_1). \qquad (IC_2)$$

  证明步骤如下. 由于 $E_2^*$ 是社会最优的教育选择, 因此有 $$s_2 (E_2^*) - c_2 (E_2^*) \ge s_2 (E_1^*) - c_2 (E_1^*).$$ 对比上式和 $(IC_2)$ 可知, 我们只需验证 $s_2 (E_1^*) - c_2 (E_1^*) \ge s_1 (E^*_1) - c_2 (E^*_1)$, 它的成立是显然的.

• 社会最优教育水平 $E^*(z)$ 为如下最优化问题的解: $$\max_{E \ge 0} z S_1(E) + (1-z) S_2 (E) - [z C_1(E) + (1-z) C_2 (E)]$$ 一阶条件如下: $$0 = z S_1'(E^*) + (1-z) S_2' (E^*) - [z C_1'(E^*) + (1-z) C_2' (E^*)] \equiv F(E^*, z)$$ 方程 $F(E^*, z) = 0$ 决定了最优教育选择 $E^*$ 和类型 $z$ 的关系, 下面用隐函数求导法则来验证 $E^*$ 关于 $z$ 递减. $$\begin{split} \frac{\mathrm{d} E^*}{\mathrm{d} z} & = -\frac{∂F / ∂z}{∂F / ∂E^*} \\ & = \frac{s_2'(E) - c_2'(E) - (s_1'(E) - c_1'(E))} {z (s_1''(E) - c_1 ''(E)) + (1-z)(s_2''(E) - c_2 ''(E))} \qquad (1) \end{split}$$ 由模型假设可知, 表达式 $(1)$ 的分子为正, 分母为负. 因此, $\frac{\mathrm{d} E^*}{\mathrm{d} z} < 0$.

1(c) 信息披露模型

卖家有三种可能类型: $t \in \{ G,B,U \}$.

1. 知情高质量卖家 (记为 $G$), 先验概率为 $κ γ$;
2. 知情低质量卖家 (记为 $B$), 先验概率为 $κ (1 - γ)$;
3. 不知情 (Uninformed) 卖家 (记为 $U$), 先验概率为 $1-κ$.

均衡中, 卖家有两种可能的信息披露方式:

• 披露好信息 ($θ = θ_G$)
• 披露空信息 ($θ \in \{ θ_G, θ_B \}$, 即不披露任何额外信息)

均衡的完整描述如下:

1. 消费者后验信念

   • 若消费者收到好信息, 则以概率一相信卖家为知情高质量卖家 ($t = G$)
   • 若消费者收到空信息, 其关于卖家类型的后验信念为 $(q_G, q_B, q_U)$: $$q_G = \Pr [t = G \mid \text{空信息} ] = 0$$ $$q_U = \Pr [t = U \mid \text{空信息} ] = \frac{1 - κ} {κ(1 - γ) + 1 - κ}$$ $$q_B = \Pr [t = B \mid \text{空信息} ] = 1 - q_U = \frac{κ(1 - γ)} {κ(1 - γ) + 1 - κ}$$

2. 消费者策略. 给定任意后验信念 $(\hat q_G, \hat q_B, \hat q_U)$, 消费者的策略如下: 若价格高于 $$\hat q_G θ_G + \hat q_B θ_B + \hat q_U (γ θ_G + (1 - γ) θ_B)$$ 则拒绝购买商品; 否则愿意购买商品.

3. 卖方信息披露策略

   • 类型 $G$ 披露好消息
   • 类型 $B$ 和 $U$ 不披露额外信息

4. 卖方定价策略

   • 类型 $G$ 定高价 $p_G = θ_G$.
   • 类型 $B$ 和 $U$ 定低价 $p_B$, $$\begin{split} p_B & = q_G θ_G + q_B θ_B + q_U (γ θ_G + (1 - γ) θ_B) \\ & = \frac{(1-κ)\left[γ\theta_G + (1-γ)\theta_B\right] + κ(1-γ)\theta_B}{(1-κ) + κ(1-γ)} \end{split}$$

均衡结果中, 消费者总是愿意接受卖家的价格并购买商品. 由于消费者的后验信念都是通过贝叶斯法则得到的, 并且每个类型的卖家均没有偏离均衡路径的激励, 因此上述 (策略, 后验信念) 共同构成精炼贝叶斯均衡.

2. 金融市场中的信号传递

(2a) 两类企业均发行新股

由于两类企业均发行新股, 投资者维持先验信念, 资产的期望价值为: $$0.1 \times 100 + 0.9 \times 50 = 55.$$ 投资者要求的最低股权比例 $\alpha$ 为: $$(55 + 30) \alpha 85 = 20 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 4/17.$$ 对于 $A = 50$ 的企业, 相比于不融资的情形, 其选择发行新股融资的净收益为: $$(1-\alpha)(50+30) - 50 = \frac{190}{17}.$$ 对于 $A = 100$ 的企业, 其净收益为: $$(1-\alpha)(100+30) - 100 = -\frac{10}{17} < 0$$ 高价值企业净收益为负, 因此不会发行新股, 故投资者 “两类企业均发行新股” 的信念无法自我验证.

(b) 仅低价值企业发行新股

由于此时仅有低价值企业发行新股, 投资者会以概率一认为发行新股的企业资产价值为 $A = 50$. 此时其要求的最低股权比例为 $$\alpha = \frac{20}{50+30} = 1/4.$$

低价值企业净收益为 $(1-0.25) \times 80 - 50 = 60 - 50 = 10$. 高价值企业未发行新股, 其净收益为 $0$.

若高价值企业也发行新股, 其净收益为: $$130 (1 - α) - 100 = -2.5 < 0.$$ 因此, 高价值企业不会发行新股, 只有低价值企业发行新股. 投资者的信念是自我验证的.

(c) 通过浪费性广告支出传递信号

考虑如下分离均衡: 高价值企业选择支出 $K = K^*$, 低价值企业不支出 ($K = 0$). 均衡结果如下:

• 若 $K = 0$, 投资者认为企业为低价值企业, 并索取股权 $\alpha_L = 1/4$. 此时企业的净收益为 $10$, 和上一小问相同.

• 若 $K = K^*$, 投资者认为企业为高价值企业, 并索取股权 $$\alpha_H = 20 / (100+30-K^*) = 20 / (130 - K^*)$$ 高价值企业的净收益为 $$(1-\alpha_H)(130 - K^*) - 100 = 10 - K^*.$$

为确保分离均衡成立, 我们分别考察两类企业的参与约束和激励相容约束.

参与约束

• 高价值企业的参与约束要求 $K^* \leq 10$,
• 低价值企业的参与约束总是满足的.

激励相容约束

• 低价值企业的激励相容约束: $$10 \ge (1-\alpha_H)(80 - K^*) - 50 \implies K^* \ge 65 - 5 \sqrt{129}$$

• 高价值企业的激励相容约束: $$10 - K^* \ge (1 - \alpha_L)(130 - K^*) - 100 \implies K^* \le 50$$

综上, 当 $K^*$ 低于10, 高于 $ 65 - 5 $ ($≈8.2$) 时, 分离均衡成立. 此时两类企业都可以成功融资, 从而避免了此前只有低价值企业才进行融资的逆向选择现象.