参考答案: 作业 3

有限责任下的最优工资合同 (1)

委托人的最优化问题如下: $$\max_{w_1, w_0 \in ℝ} 0.6(10 - w_1) + 0.4 (0 - w_0)$$ 约束条件: $$\begin{split} 0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2 \ge 0 \quad & (IR) \\ 0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2 \ge 0.4 w_1 + 0.6 w_0 \quad &(IC) \\ w_1 \ge 0, w_0 \ge 0 \quad & (LL) \end{split}$$

其中, (IR) 为个体理性约束 (参与约束), (IC) 为激励相容约束, (LL) 为有限责任 (Limited Liability) 下的工资非负约束.

有限责任下的最优工资合同 (2)

拉格朗日函数: $$\begin{split} L = & -0.6 w_1 - 0.4 w_0 + \\ & λ_1 (0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2) + \\ & λ_2 (0.2 w_1 - 0.2 w_0 - 2) + \\ & λ_3 w_1 + λ_4 w_0 \end{split}$$ 对应的 Kuhn-Tucker 条件如下:

1. 一阶条件: $$\frac {∂L} {∂w_1} = - 0.6 + 0.6 λ_1 + 0.2 λ_2 + λ_3 = 0$$ $$\frac {∂L} {∂w_0} = - 0.4 + 0.4 λ_1 - 0.2 λ_2 + λ_4 = 0$$

2. 可行域: $$\frac {∂L} {∂λ_1} = 0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2 \ge 0$$ $$\frac {∂L} {∂λ_2} = 0.2 w_1 - 0.2 w_0 - 2 \ge 0$$ $$\frac {∂L} {∂λ_3} = w_1 \ge 0$$ $$\frac {∂L} {∂λ_4} = w_0 \ge 0$$

3. 互补松弛: $$\begin{split} λ_1 (0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2) =0 \\ λ_2 (0.2 w_1 - 0.2 w_0 - 2) =0 \\ λ_3 w_1 =0, \quad λ_4 w_0 =0 \end{split}$$

4. 乘子非负: $$λ_1 \ge 0, λ_2\ge 0, λ_3\ge 0, λ_4 \ge 0$$

有限责任下的最优工资合同 (3)

(IC) 约束等价于 $$w_1 - w_0 \ge 10$$ 因此, $w_1$ 严格高于 $w_0$. 另一方面, 由于工资 $w_0$ 非负, 工资 $w_1$ 一定严格大于零. 此时, 约束 $w_1 \ge 0$ 是松的, 其对应的乘子 $λ_3$ 一定为 $0$.

由于 $w_1$ 严格为正且 $w_0$ 非负, 根据 (IC) 约束可知 $$0.6 w_1 + 0.4 w_0 - 2 \ge 0.4 w_1 + 0.6 w_0 > 0.$$ 因此, (IR) 约束一定是松的, 其对应的拉格朗日乘子 $λ_1$ 为零.

接下来论证均衡中 $w_0 = 0$. 反设 $w_0 > 0$, 由于工资 $w_1$ 也严格大于零, 委托人可以同时降低 $w_1$ 和 $w_0$, 在不违背约束 (IR, IC, LL) 的同时提高均衡利润. 矛盾.

• 补充说明: 在我们此前的道德风险模型中, 代理人均衡效用一般总是等于其保留效用, 此时 (IR) 约束为紧. 但在这个练习中, 由于工资非负这个设定, 委托人不得不选择正的工资 $w_1$ 以及非负的 $w_0$, 这使得代理人的均衡效用一定严格高于其保留效用 ($0$).

接下来, 我们说明约束 (IC) 一定是紧的. 如若不然, 委托人可以适当降低工资 $w_1$, 在不违背约束 (IR, IC, LL) 的同时提高均衡利润. 矛盾.

将 $w_0 = 0$ 代入紧的 (IC) 约束, 可得 $w_1 = 10$. 进一步, 四个拉格朗日乘子分别为 $$λ_1 = 0, λ_2 = 3, λ_3 = 0, λ_4 = 1.$$

有限责任下的最优工资合同 (4)

拉格朗日乘子 (影子价格) 的经济学含义: 放松一单位约束条件 (即调整外生参数使约束更容易满足) 所能带给委托人的边际利润.

(IR) 约束的乘子为 $λ_1 = 0$.

• 这意味着, 降低一单位代理人的保留效用不能提高委托人的利润.

(IC) 约束的乘子为 $λ_2 = 3$.

• 这意味着, 放松一单位激励相容约束能提高 $3$ 个单位的委托人利润.

(LL) 约束的乘子分别为 $λ_3 = 0$, $λ_4 = 1$.

• 这意味着, 放松一单位约束 $w_1 \ge 0$ 不能提高委托人利润; 放松一单位约束 $w_0 \ge 0$ 能提高 $1$ 单位的委托人利润.

逆向选择与二手车市场 (1)

给定任意价格 $p > 0$, 仅有质量为 $θ \le p$ 的二手车进入市场. 平均质量为 $$𝔼 [θ \mid θ \le p] = p/2.$$

逆向选择与二手车市场 (2)

若交易发生, 消费者的期望效用为 $$1.5 𝔼[θ \mid θ \le p] - p = \frac {1.5p} 2 - p < 0, \quad \forall p >0$$

逆向选择与二手车市场 (3)

均衡中, 二手车市场完全崩溃: 没有二手车会被交易.

• 注: 回答只有质量为 $θ=0$ 的二手车被交易也可以, 由于模型中的状态构成连续区间, $θ=0$ 的二手车的测度为零. 因此, 这个答案其实等同于没有二手车会被交易.