作业 2

留作习题的课堂练习

1. 阅读课程资料《道德风险基本模型》中的保险市场模型, 证明均衡中张三的投保金额为全险: $C = L$.
2. 阅读课程资料《最优激励合同（二元情形）》, 证明最优化问题的解中 (IC) 约束是紧的.
   • 注: 课程资料中已经给出了微扰法证明的大致框架.
3. 假设 $Y$ 服从对数正态分布: $\ln Y \sim N (\mu, \sigma^2)$. 本问题涉及计算 $Y$ 的期望, 从下面两小问中选择一问回答即可. 如果选择第二问, 需在作业中提交代码脚本以及运行结果, 结果请以图或表的形式呈现 (最好是图), 且应能直观体现样本均值随 $\sigma^2$ 递增的趋势.

   • 问一: 推导 $𝔼 [Y] = \exp(\mu + σ^2/2)$.

   • 问二: 使用任何你喜欢的计算工具 (MatLab/Python/R/…), 用数值仿真验证 $Y$ 的期望关于 $σ^2$ 递增. 具体地, 你需要完成如下步骤:

     1. 令 $\sigma^2 = 1$, 从分布 $N (0, \sigma^2)$ 抽取 $N=1000$ 个样本: $z_1, ..., z_{N}$.
     2. 令 $y_i = \exp(z_i)$, 计算 $\{ y_i \}_{i=1}^{N}$ 的样本均值 $\bar y = ∑_{i=1}^N y_i/N$.
     3. 另取 $\sigma^2 = 3,6,9,12$, 重复上述过程, 验证你得到的样本均值关于 $\sigma^2$ 递增.

     你应该在你的代码脚本中, 将上述过程封装为一个函数: 函数的输入是正态分布的方差, 输出是样本均值.

     如果你选择使用 Python, 可以参考下面的 Python 示例代码. 示例代码计算了方差为 4 时的样本均值 $\bar y$, 你可以将它封装为一个函数, 函数的输入是正态分布的方差, 输出则是对数正态分布的样本均值, 再进一步验证样本均值关于方差递增即可.

from scipy.stats import norm
import numpy as np

# 设定参数
N = 1_000
mean = 0
variance = 4
std_dev = np.sqrt(variance)

# 数据生成
data = norm.rvs(loc=mean, scale=std_dev, size=N)
data = np.exp(data)

# 计算均值
sample_mean = np.mean(data)

print(f"Sample mean: {sample_mean}")

多任务情形下的最优线性合同

考虑如下包括公司(委托人)和张三(代理人)的委托代理模型. 博弈双方都是风险中性的, 且保留效用均为 $0$.

张三选择某个努力水平 $a = (a_1, a_2) \in ℝ^2_+$. 注意, 这里张三的行动 $a$ 是二维的, 你可以理解为张三在承担两个项目. 项目 1 的产出为 $q_1$, 投入为 $a_1$; 项目 2 的产出为 $q_2$, 投入为 $a_2$.

给定张三努力水平 $(a_1, a_2)$, 产出 $q = (q_1, q_2)$ 的生成机制如下: $$q_1 = a_1 + e_1, \quad q_2 = a_2 + e_2$$ $$e_1, e_2 ∼ N(0, σ^2), \text{ 且 $e_1$ 和 $e_2$ 独立.}$$

张三的努力成本为 $$c(a_1, a_2) = (a_1^2 + a_2^2) / 2 + k a_1a_2$$ 其中 $k \in [-1, 1]$ 为外生参数. 公司的最终利润为 $q_1 + φ q_2 - w$，其中 $φ > 0$ 为外生参数, $w$ 表示支付给张三的工资; 张三的最终效用为 $w-c(a_1, a_2)$.

1. 假设不存在道德风险问题, 描述此时博弈的第一最优结果. 你只需描述第一最优结果中张三的努力程度 $(a_1,a_2)$ 即可.

2. 假设存在道德风险问题, 且公司提供如下线性合同: $w(q_1, q_2) = w_0 + β_1 q_1 + β_2 q_2$. 计算公司的最优线性合同以及张三的努力程度.

3. 承接上一小问, 假设工资合同不能依赖于 $q_2$, 只能依赖于 $q_1$: $w(q_1) = w_0 + β_1 q_1$. 计算此时公司的最优线性合同.

4. 比较 (2) 和 (3) 中的结果, 解释均衡中公司最优合同的差异.