参考答案: 作业 1 附加题

关于第一题的说明: 严格来讲, 只有确定了最终答案是内点解, 才能放心使用一阶条件. 要保证这里的解是内点解 (即 $A$ 介于 $0$ 和 $w$ 之间), 还需要额外增加关于参数 $R_1$ 和 $R_0$ 的限制. 我们此处回避了这些讨论, 因为它们比较冗繁, 而且在金融学的背景下并非完全必要: 若允许卖空股票和债券, $A$ 的取值可以是任意实数, 此时不存在端点解.

1.1

投资者将财富 $A$ 用于风险资产, 财富 $w-A$ 用于无风险资产.

• 当风险资产回报率为 $R$ 时, 其最终财富水平为 $A(1+R) + w-A =w+AR$

投资者期望效用最大化问题: $$\max _ {A} q \ln (w+A R_1) + (1-q) \ln (w + A R_0)$$

一阶条件 $\implies$ $$A = \frac{w } {-R_0 R_1} \frac{ R_1 q + R_0 (1-q) } {q (1-q)}$$

• $A$ 关于 $w$ 递增. 因此, 随着财富的增加, 投资者会更多地投资风险资产.

1.2

投资者期望效用最大化问题: $$\max _ {A} - q \exp [-(w+A R_1)] - (1-q) \exp [-(w + A R_0)]$$

一阶条件: $$q R_1 \exp [- (w + AR_1)] + (1-q) R_0 \exp [- (w + AR_0)] = 0$$ 约掉通项 $\exp (- w)$ 后, 一阶条件和 $w$ 无关. 因此, $A$ 和 $w$ 无关, 即投资者对风险资产的投资水平和财富水平无关.

1.3

对于第一位投资者 $u=\ln(x)$:

• $r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = 1/x$​
• 绝对风险规避系数随着财富的上升而下降, 因此随着财富的增加, 投资者会更多地投资风险资产

对于第二位投资者 $u = -e^{-x}$:

• $r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = 1$
• 绝对风险规避系数和财富无关, 因此均衡中投资者的风险资产配置和财富水平无关

2

问题出在下面这段论述:

• “对任意结果 x, 定义 u (x) 为等价概率由连续性, 存在唯一 $u(x) \in [0,1]$ 使得…”

连续性公理无法保证 $u(x)$ 的唯一性, 它的唯一性需要从独立性公理证明得到.详细过程见课程网站上的阅读资料.