作业 1 附加题

附加题部分难度相对较高, 故不要求所有同学都提交, 但相信一定有聪明的学生能够完成.
教师会在周四的课上对此进行讲解. 届时若有同学主动上台讲解, 可获得额外加分.

风险态度与资产组合

考虑如下最优资产组合问题. 投资者的初始财富为 $w$ , 效用函数为 $u(w) = \ln⁡(w)$

投资者将财富分配到两类资产上.

无风险资产 (如国债). 为简化计算, 其投资回报率记为零.
风险资产 (如股票). 假设该风险资产的回报 $R$ 只有两个可能的结果: $R_1 > 0$ 和 $R_0 < 0$ . 其中 $R$ 取值为 $R_1$ 的概率为 $q$ , 取值 $R_0$ 的概率为 $1 - q$ .

风险资产的预期回报是正的: $q R_1 + (1-q) R_0 >0$ . 令 $A \in ℝ$ 表示最优资产组合中投资于风险资产的金额.

将 $A$ 表示为 $w$ 的函数, 并回答如下问题: 当投资者的财富增加时, 他会将更多还是更少的财富投入风险资产?
另一位投资者的效用函数为 $u(x) = -e^{-x}$ . 她在风险资产上的投资如何随财富变化? (提示: 使用隐函数求导法则)
找出两位投资者的绝对风险规避系数 $r(x) = -{u''(x)} / {u'(x)}$ . 它们如何随财富的变化而变化? 你能否依此来解释你在前两问中答案的差异?

证明 vNM 定理

下面是豆包于 2026 年 3 月 27 日给出的关于 vNM 定理的证明. 它的证明思路中存在一个明显的漏洞 (gap); 请对照课程网站给出的证明, 找出这个漏洞.

$\text{豆包的回复}$

下面用清晰、不啰嗦、能直接考试默写的版本，推一遍冯・诺依曼–摩根斯坦期望效用定理（vNM 期望效用定理）。默认你知道基本符号：

$L$ ：彩票（风险选项）
$p$ ：概率
$x,y,z$ ：确定性结果
$\succsim$ ：偏好关系（弱偏好）

一、设定：彩票空间

一个简单彩票写成： $L = (x, p ; y , 1-p)$ 含义：以概率 $p$ 得 $x$ ， $1-p$ 得 $y$ 。复合彩票可以化简为简单彩票，所以只需要考虑简单彩票。

二、vNM 公理（共 4 条核心）

决策者对所有彩票的偏好 $\succsim$ 满足：

完备性（Completeness）：对任意 $L_1,L_2$ ，必有 $L_1\succsim L_2 \quad\text{或}\quad L_2\succsim L_1$
传递性（Transitivity）： $L_1\succsim L_2,;L_2\succsim L_3 \implies L_1\succsim L_3$
连续性（Continuity）：若 $L_1\succsim L_2\succsim L_3$ ，则存在 $p\in[0,1]$ 使得 $L_2 \sim (L_1,p;L_3,1-p)$ （中间彩票等价于某个最好与最差的混合）
独立性公理（Independence）：对任意彩票 $L_1,L_2,L_3$ ，任意 $\alpha\in(0,1)$ ： $L_1\succsim L_2 \iff \alpha L_1 + (1-\alpha)L_3 ;\succsim; \alpha L_2 + (1-\alpha)L_3$ 白话：掺进同一个共同彩票，不改变偏好顺序。

三、定理陈述

如果偏好 $\succsim$ 满足上述完备、传递、连续、独立，则存在一个效用函数 $u$ ，使得对任意彩票 $L_1,L_2$ ： $L_1\succsim L_2 \quad\Longleftrightarrow\quad EU(L_1)\ge EU(L_2)$ 其中期望效用定义为： $EU(L) = p_1 u(x_1)+p_2 u(x_2)+\dots+p_n u(x_n)$ 并且，这个 $u$ 是在正仿射变换下唯一： $v (x)=a u(x)+b,\quad a>0$ 期望效用大小顺序不变。

四、证明思路

找最好与最差结果设 $\bar{x}$ 最优， $\underline{x}$ 最差。
对任意结果 x，定义 u (x) 为等价概率由连续性，存在唯一 $u(x)\in[0,1]$ 使得： $x \sim \big(\bar{x},u(x) ; \underline{x},1-u(x)\big)$ 就把这个概率直接定义为 $u(x)$ 。
用独立性公理，把任意彩票 “化简” 为最好 / 最差的混合对任意彩票 $L=(x_1,p_1;\dots;x_n,p_n)$ ，对每个 $x_i$ 替换成等价的 $(\bar{x},u(x_i);\underline{x},1-u(x_i))$ ，用独立性反复合并，得到： $L \sim \left( \bar{x},\sum p_i u(x_i); \underline{x},1-\sum p_i u(x_i) \right)$
比较等价概率即可比较彩票彩票偏好等价于其等价概率大小，而这个概率就是： $EU(L)=\sum p_i u(x_i)$ 于是： $L_1\succsim L_2 \iff EU(L_1)\ge EU(L_2)$

五、一句话总结