作业一

1. 记张三和李四的 vNM 效用函数分别为 $u(x)$ 和 $v(x)$. 请证明, 若存在递增的严格凹函数 $g(\cdot)$ 使得 $v(x) = g(u(x))$, 则李四的绝对风险规避永远高于张三.

   • 注: 这个练习来自 “货币偏好和风险规避” 部分的教学. 证明过程中, 你总是可以假设函数是可微的.

2. 本练习来自 “vNM 公理化” 部分的教学:

   1. 请证明, 当集合 $Z$ 至少包含三个元素时, 悲观偏好不是连续的.
   2. 请证明, 期望效用偏好是连续的.

3. 考虑决策者关于货币的偏好. 在金融学中, 一种常见的偏好表示方法, 是只关注彩票 $p$ 的期望 $E_p$ 和方差 $V_p$, 即彩票 $p$ 带给投资者的效用 $u(p)$ 只取决于其期望和方差.

   1. 令 $u(p) = E_p - V_p/4$. 证明: 此时投资者的偏好关系不是期望效用偏好, 即它违背了某个 vNM 公理. (提示: 考虑彩票 $(1 \circ \$100)$ 和 $(0.5 \circ \$0, 0.5 \circ \$400)$ 分别与彩票 $(0.5 \circ \$0, 0.5 \circ \$200)$ 的复合).

   2. 令 $u(p) = E_p - (E_p)^2 - V_p$. 证明: 此时投资者的偏好关系是期望效用偏好, 即写出此时的 vNM 效用函数 $v(x)$, 其中 $x$ 为货币数. (提示: 对任意随机变量 $x$, $\mathop{Var}[x] = 𝔼[x^2] - 𝔼[x]^2$)

4. 下面是 DeepSeek 于 2026-03-12, 对提示词 “请简要介绍 vNM 期望效用理论” 给出的回复, 请对照课程中 “vNM 公理化” 的教学部分, 挑出其中三处错误或不完善之处.

$$\text{DeepSeek 的回复}$$

vNM期望效用理论（Von Neumann-Morgenstern Expected Utility Theory）是现代经济学，尤其是博弈论和不确定性决策理论的基石。它由数学家约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）和经济学家奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）在他们1944年合著的《博弈论与经济行为》一书中正式提出。

这个理论的核心目的是在不确定性的条件下，理性决策者应该如何做选择。

以下是对该理论的简要介绍，主要包括三个部分：核心思想、公理体系和意义。

1. 核心思想：期望效用最大化

vNM理论的核心观点是：当一个人面对风险（即知道未来各种结果发生的概率）做选择时，他真正关心的是这些结果给他带来的“效用”（满足感或幸福感），而不仅仅是金钱的数值。他最终会倾向于选择那个能让他获得“期望效用”最大的选项。

这里需要区分两个概念：

• 期望值： 金钱收益的加权平均。例如，50%概率得100元，50%概率得0元，期望值是50元。
• 期望效用： 效用的加权平均。例如，100元带来的效用可能是1，0元带来的效用可能是0，那么期望效用就是 0.5×1 + 0.5×0 = 0.5。

vNM理论认为，人们的决策准则是最大化期望效用，而不是最大化期望金钱值。

2. 理论基础：三大关键公理

为了使这种决策方式成为“理性”的，vNM提出了几条基本的偏好公理。只有当一个决策者的偏好满足这些条件时，他的行为才可以用一个唯一的vNM效用函数来表示，并且他会按照期望效用最大化来行动。主要包括：

1. 完备性： 你在任何两个选项（比如彩票A和彩票B）之间，必须能做出比较。要么你偏好A，要么偏好B，要么觉得两者无差异。

2. 传递性： 你的偏好不能自相矛盾。如果你认为A优于B，B优于C，那么你必须认为A优于C。

3. 连续性： 这条公理保证了数学上的平滑性。如果A优于B优于C，那么存在某个概率 ( p )，使得“以概率 ( p ) 得A，概率 ( 1-p ) 得C”这个彩票，与“确定得到B”对你来说是一样好的。

4. 独立性（最关键的一条）： 如果两个彩票有相同的概率获得某个相同的结果，那么这部分相同的结果不应该影响你的选择。

   • 例子： 假设你在两个选择之间犹豫：50%概率去巴黎，50%概率看电视；还是50%概率去罗马，50%概率看电视。根据独立性公理，那“50%概率看电视”的部分是相同的，你应该把注意力集中在比较“去巴黎”和“去罗马”上。如果单纯比较时你更喜欢巴黎，那么在带概率的情况下你也应该选择前者。

3. 主要意义与结论

• 建立了不确定性的分析框架： 它将决策问题数学化，使得经济学家可以用数学工具来严谨地分析人们在风险下的行为。
• 解释了风险态度： vNM理论通过效用函数的形状来定义人们对风险的态度。
  • 风险厌恶： 效用函数是凹的（比如赚100块带来的快乐，远小于亏100块带来的痛苦）。大多数人属于此类，会购买保险。
  • 风险中性： 效用函数是线性的。
  • 风险爱好： 效用函数是凸的（比如喜欢赌博的刺激）。
• 区分了货币价值与主观感受： 它解释了为什么人们会拒绝一个“期望值为正”的赌局（比如50%概率赢200，50%概率输100，期望赚50）。因为对于风险厌恶者来说，输钱的“痛苦”（效用损失）大于赢钱的“快乐”。

总结

vNM期望效用理论提供了一套关于理性决策的规范性标准。它告诉我们：如果一个人的偏好是理性的（满足上述公理），那么他的行为就好像是在试图最大化某个效用函数的期望值。 这个理论是后续几乎所有高级经济分析（如资产定价、保险市场、拍卖理论）的基础。