信号博弈: 教育兼具人力资本功能与信号功能情形

• 信息经济学
• 湖南大学课程

模型设定

• 市场上存在两类求职者: $i \in \{1,2\}$
• 教育能提高求职者的产出:
  • 第 $i$ 类求职者的教育程度为 $E$ 时, 其产出为 $s_i(E)$
• 生产函数 $s_1(E)$ 和 $s_2(E)$ 满足
  • $s_2(E)>s_1(E)$ 且 $s_2'(E)>s_1'(E)$;
• 成本函数 $c_1(E)$ 和 $c_2(E)$ 满足:
  • $c_1(E)>c_2(E)$ 且 $c_1'(E)>c_2'(E)$
• 上述假设延续了我们此前 “高产出群体信号成本更低” 的模型设定

其它假设:

• 为确保均衡存在且唯一, 假设 $s_i(E)$ 为凹函数、$c_i(E)$为凸函数

基准情形: 无信息不对称

若求职者的类型是可观测的:

• 第 $i$ 类求职者会选择社会最优的教育水平 $E^*_i$: $$s'_i(E^*_i) = c_i'(E^*_i)$$
• 由于劳动力市场是充分竞争的, 两类求职者的工资为 $w_i^* = s_i (E_i^*)$
• 基准情形的均衡结果是社会最优的 (即第一最优解)

说明:

• 不同于此前教育仅具有信号功能的情形, 现在求职者的教育投资可以提高其产出. 因此, 社会最优的教育投资不再是零, 而是 $E^*_1$ 和 $E^*_2$, 且 $E_2^* > E_1^* >0$

信息不对称情形

考虑求职者类型不可观测的情形, 此时均衡可能为分离均衡或混同均衡.

根据均衡的效率不同, 可进一步细分得到三种可能的均衡情形:

1. 帕累托有效的分离均衡 (即有效分离均衡)
   • 此时求职者的教育选择和基准情形相同
2. 缺乏效率的分离均衡
3. 混同均衡
   • 因为基准情形中两类求职者的教育选择不同 ($E^*_1$ 不等于 $E^*_2$), 而混同均衡中两类求职者的教育选择相同, 混同均衡一定是缺乏效率的.

有效分离均衡

两类求职者在分离均衡中的净收入函数: $$N_i(E) = s_i(E)-c_i(E)$$

• 由于 $s_i (E)$ 为凹且 $c_i (E)$ 为凸, 净收入函数 $N_i(E)$ 是凹的.

若低产出群体 ($i=1$) 想要伪装为高产出群体, 其获得的净收入为 $$V_1 (E) = s_2(E) - c_1(E)$$

• 注: 虽然伪装后的低产出群体能获得高产出群体的工资水平 $s_2(E)$, 但其承担的教育成本仍然为 $c_1(E)$, 而非 $c_2(E)$.

有效分离均衡中, 低产出群体的 IC 条件为 $N_1 (E_1^*) \ge V_1 (E_2^*)$.

• 类似可写出高产出群体 ($i=2$) 的 IC 条件.

有效分离均衡: 图例

• 图例中, $\bar{E}$ 满足 $N_1(E_1^*) = V_1(\bar E)$
• 当高产出群体的最优教育水平 $E_2^*$ 位于 $\bar{E}$ 右侧时, 一定有 $V_1 (E_2^*) < V_1 (\bar E)$. 此时, 低产出群体不会伪装高产出群体.
• 留做习题: 请验证, 此时高产出群体也不会伪装为低产出群体.

反之, 若 $E_2^*$ 位于 $\bar{E}$ 左侧时, 低产出群体会伪装为高产出群体. 此时, 有效分离均衡无法维持.

缺乏效率的分离均衡: 图例

缺乏效率的分离均衡

图例中, $E_2^*$ 位于 $\bar{E}$ 左侧.

• 若 $E_2 = E_2^*$, 低产出群体会伪装高产出群体, 分离均衡无法维持.

为了维持分离均衡, 高产出群体的教育选择 $E_2$ 不得低于 $\bar{E}$.

• 此时, 高产出群体的最低教育选择为 $E_2 = \bar{E}$.
• 均衡中高产出群体存在过度教育投资: $\bar{E} > E_2^*$

注: 上述缺乏效率的分离均衡, 和我们此前的纯信号模型很相似.

• 纯信号模型中, 高产出者为了将自己和低产出者区分开, 必须获取正的教育水平. 此时, 任何分离均衡必然伴随过度教育投资.

混同均衡

设低产出群体占比为$\alpha$, 混同均衡下所有求职者均获得相同工资 $W(E)$: $$W(E)=\alpha s_1(E)+(1-\alpha)s_2(E)$$

• 此前的纯信号模型中, 混同均衡是社会最优的.
• 教育兼具人力资本功能时, 混同均衡不是社会最优的.
  • 具体而言, 高产出群体的混同均衡福利一定低于基准情形; 低产出群体则不然, 因为他们的工资水平被高产出群体拉高了, 其混同均衡福利甚至可能高于基准情形.

当分离均衡存在效率损失且 $\alpha$ 低于某阈值时, 混同均衡相较于分离均衡是帕累托占优的.

对教育征税

和教育只有纯信号功能的情形类似, 可以通过对教育收税来实现社会最优.

下面使用连续类型、而非二元类型来计算最优税收方案.

假设求职者的类型构成连续区间 $[0,1]$

• 用 $z \in [0,1]$ 来表示求职者的类型
• 类型 $z$ 求职者的产出: $zs_1 (E) + (1-z) s_2 (E)$
• 类型 $z$ 求职者的教育成本: $z c_1 (E) + (1-z) c_2 (E)$

注: 根据上述设定, 类型 $z$ 越高, 求职者产出越低, 且教育成本越高.

最优教育水平

• 类型 $z$ 求职者的 (社会) 最优教育水平 $E^*(z)$ 为如下最优化问题的解: $$\max_E z (s_1(E) - c_1(E) ) + (1-z) (s_2(E) - c_2(E) )$$

• 请验证: 最优教育水平 $E^*(z)$ 关于类型 $z$ 严格递减

完全分离均衡

当类型不再是二元情形时, 均衡可能是部分分离 (或部分混同) 的.

• 比如, 若类型 $z_1, z_2$ 选择教育水平 $0.5$, 而类型 $z_3, z_4$ 选择教育水平 $0.8$, 此时的结果既有分离的成分、也有混同的成分.

若不同类型的求职者选择的教育水平一定不同, 公司仍可通过教育信号来完美推断求职者类型.

• 称此时的均衡为完全分离均衡.

如果用函数 $E(z)$ 表示类型 $z$ 求职者的教育选择, 完全分离均衡意味着映射 $E(z)$ 为单射, 即 $z \ne z' \implies E(z) \ne E(z')$.

• 由于 $E^* (z)$ 是严格单调的, 它一定是单射.

最优税收方案

命题: 存在税收函数 $t(E)$, 使得博弈存在完全分离均衡, 且均衡中类型 $z$ 求职者的教育选择恰好为社会最优水平 $E^*(z)$.

注:

• 上述命题中, 税收函数 $t(E)$ 可以是非线性的.
  • 此前的纯信号模型中, 我们只考虑了线性税收的情形.
• 上述命题中, 税收函数 $t(E)$ 的取值可以为负.
  • 取值为负的经济学含义: 若 $t(E) < 0$, 政府会对教育水平为 $E$ 的求职者提供补贴、而非征税.

证明

假设该有效分离均衡存在. 由于 $E^*(z)$ 是严格单调的, 其反函数存在, 令 $Z(E)$ 表示 $E^*(z)$ 的反函数.

• $Z(E)$ 体现了均衡中雇主对求职者能力的推断.
• 当雇主观测到教育水平 $E$ 时, 会推断求职者能力为 $Z(E)$, 并支付工资 $Z(E)s_1 (E) + (1-Z(E)) s_2 (E)$.

记 $w(E) = Z(E)s_1 (E) + (1-Z(E)) s_2 (E) - t(E)$

• 工资函数 $w(E)$ 表示市场给出的竞争性工资水平减去政府税收
• 若 $t(E)$ 为负, 则表示竞争性工资水平加上政府补贴

为了实现最优教育水平 $E^*(z)$, 我们直接求解 $E^*(z)$ 对应的工资水平 $w(E)$.

对任意类型 $z$, 给定工资 $w(E)$, 其教育投资水平满足如下方程: $$w'(E) = z c_1'(E) + (1-z) c_2'(E)$$

将 $z = Z(E)$ 代入上面的微分方程, 等式两边同时对 $E$ 积分, 可得到社会最优的 $w^*(E)$.

• 积分后会得到一个常数项, 这个常数项需要通过 “总税收=总补贴” 这个预算平衡约束来确定.
• 政府可以通过选择适当的税收政策 $t(E)$ 来实现最优工资 $w^*(E)$.

补充说明:

• 决定最优工资方案的微分方程与求职者的类型分布无关.
• 也就是说, 即使将概率质量集中于 $z=0$ 和 $z=1$ 两点 (即此前的二元模型情形), 上述求解过程依然成立.

小结

在教育兼具人力资本功能的情形下:

1. 可能存在有效的分离均衡
2. 可能因信号需求导致高产出群体过度投资教育
3. 当低产出群体规模较小时, 存在帕累托占优的混同均衡
4. 总存在能实现完全有效分离均衡的税收方案.