求解委托人最优合同 (一般情形)

• 湖南大学课程
• 信息经济学

基准情形 (第一最优解)

假设不存在道德风险问题, 此时公司可以直接在合同中规定张三的努力程度 $a$.

• 比如, 公司可以直接在合同中规定: 如果张三的努力程度低于 $a$, 就不支付任何工资 (甚至倒扣工资).
• 直觉上, 公司在合同中规定了其希望的努力程度 $a$ 后, 会选择支付某个固定工资 $\hat w \in ℝ$, 而不是令工资取决于产出 $q$.

我们接下来证明这个直觉是对的:

1. 令 $w(q)$ 表示张三努力程度为 $a$ 时公司支付的工资,
2. 证明最优合同中 $w(q)$ 是常函数, 即 $w(q) = \hat w$ 对任意产出水平 $q$ 均成立.

基准情形: 公司最优化问题

公司的目标函数: $$\max_{a \in A, w(q)} \, \mathbb{E} [q - w(q) \mid a ]$$ 约束: $$𝔼 [u(w(q))] - c(a) \geq \underline{u} \quad \text{(IR)}$$

最优合同中, IR 约束一定是紧的.

• 否则, 公司可以适当降低工资为 $w(q) - ε$; 只要 $ε>0$ 足够小, 就可以在满足 IR 约束的同时提高期望利润.

公司的最优化问题包含两个决策变量: $a$ 和 $w(\cdot)$

两步法求解最优合同:

1. 固定任意努力程度 $a \in A$, 找到满足 IR 约束的最优工资方案 $w(\cdot)$.
2. 公司选择其希望的努力程度 $a^{*}$.

两步法求解最优合同: Step 1

Step 1: 固定任意努力程度 $a$, 找到最优工资 $w(\cdot)$.

最优化问题的拉格朗日函数: $$L(λ, w(\cdot)) = \int_{\mathbb{R}} \big[ q - w(q) + λ ( u(w(q)) - c(a) - \underline{u} ) \big] f(q \mid a) \, dq$$ 其中:

• $λ$ 是 IR 约束的拉格朗日乘子.
• IR 约束在解中总是紧的, 因此其对应的拉格朗日乘子满足 $λ > 0$.

根据 Kuhn-Tucker 定理, 只需考虑 $\min_{λ \ge 0}\max_{w(\cdot)} L(λ, w(\cdot))$

• 内层的最大化定积分问题 ($\max_{w(\cdot)} L(λ, w(\cdot))$) 可以通过逐点最优化被积分项求解.

对任意 $q$, 公司选择某个工资水平 $\hat w \in ℝ$ 使得 $$\max_{\hat w \in ℝ} \Big(-\hat w + λ u(\hat w)\Big)$$

该最优化问题的目标函数是凹的:

• 一阶条件 $\implies$ $u'(\hat w) = 1 / λ$ 对所有 $q$ 成立.

因此, 公司的最优工资方案和产出 $q$ 无关. 对任意产出 $q$, 只要张三的努力水平是公司希望的 $a$, 公司都会支付某个固定工资水平.

• 这个结果和我们此前的直觉一致.

最优工资方案由 IR 约束决定: $$u(w^{*}) - c(a) = \underline{u} \implies w^{*} = u^{-1}(\underline{u} + c(a))$$

• 注: $u^{-1} (\cdot)$ 表示函数 $u (w)$ 的反函数, 不是倒数 $\frac 1 {u(w)}$.

两步法求解最优合同: Step 2

Step 2: 求解公司最优努力程度 $a^{*}$. $$\max_{a \in A}\, \mathbb{E}[q \mid a] - u^{-1}(\underline{u} + c(a))$$

• 该最优化问题的解决定了最优努力程度 $a^{*}$

道德风险情形

假设公司不能在合同中直接监督张三的行动.

如果公司希望张三选择行动 $a$, 将面临额外的激励相容约束: $$\mathbb{E}[u(w(q)) \mid {a}] - c({a}) \ge \mathbb{E}[u(w(q)) \mid \tilde{a}] - c(\tilde{a}), \quad \forall \tilde a \in A$$

上述激励相容约束可以等价地描述为:

• 努力程度 $a$ 是最优化问题 $\max_{\tilde{a} \in A} \mathbb{E}[u(w(q)) \mid \tilde{a}] - c(\tilde{a})$ 的解, 即 $$a \in \arg\max_{\tilde{a} \in A} \mathbb{E}[u(w(q)) \mid \tilde{a}] - c(\tilde{a})$$

公司最优化问题如下: $$\max_{w(\cdot), a \in A} \mathbb{E}[q - w(q) \mid a]$$ 约束条件: $$\mathbb{E}[u(w(q)) \mid a] - c(a) \geq \underline{u} \quad \text{(IR)}$$ $$a \in \arg\max_{\tilde{a} \in A} \mathbb{E}[u(w(q)) \mid \tilde{a}] - c(\tilde{a}) \quad \text{(IC)}$$

分别求解两种不同行动集下的公司最优合同:

1. 二元行动: $A = \{ L, H \}$ ($L < H$)
2. 连续行动: $A = [ L, H]$ ($L < H$)

单调似然比假设

为了确保高努力水平会带来更好的产出分布, 我们做出如下假设: $$\frac{f(q \mid H)}{f(q \mid L)} \text{ 关于 $q$ 严格递增 }$$ 上述假设常被称为单调似然比 (Monotone Likelihood Ratio, MLR) 假设.

• 直观解释: 产出 $q$ 较大, 张三采取高努力 ($a = H$) 的可能性 (likelihood) 更大.

为了简化描述, 我们只对比了行动 $H$ 和行动 $L$ 的产出分布.

• 当存在连续行动时, 将行动 $H$ 和 $L$ 分别替换为较高努力水平和较低努力水平即可.

二元行动情形

令 $a \in A \equiv \{L, H\}$, 且 $c(H) > c(L) = 0$.

两步法求解最优工资方案:

1. 固定任意努力程度 $a \in A$, 求解努力程度 $a$ 下的最优工资方案 $w(q)$.
2. 求解 (公司) 最优努力程度 $a^*$

二元行动情形: 若公司实施 $a = L$

• 如果公司希望张三采取低努力行动 $L$, 此时可以忽略 IC 约束, 仅支付某个和产出无关的固定工资水平即可
• IR 条件 $\implies$ 固定工资为 $w^{*} = u^{-1}(\underline{u})$
• 公司的期望利润为 $\Pi = \mathbb{E}[q \mid L] - u^{-1}(\underline{u})$.

二元行动情形: 若公司实施 $a = H$

公司最优化问题: $$\max_{w(\cdot)} \mathbb{E}[q - w(q) \mid H]$$ 约束条件: $$\mathbb{E}[u(w(q)) \mid H] - c(H) \geq \underline{u}$$ $$\mathbb{E}[u(w(q)) \mid H] - c(H) \geq \mathbb{E}[u(w(q)) \mid L]$$ 将 IR 和 IC 的拉格朗日乘子分别记为 $λ$ 和 $μ$, 写出拉格朗日函数 $L(w(\cdot), λ, \mu)$.

$$\begin{aligned} L(w(\cdot), λ, \mu) = &\int_{\mathbb{R}} \big[ q - w(q) \big] f(q \mid H) \, dq \\ &+ λ \int_{\mathbb{R}} \big[ u(w(q)) - c(H) - \underline{u} \big] f(q \mid H) \, dq \\ &+ \mu \int_{\mathbb{R}} \big[ u(w(q)) - c(H) \big] f(q \mid H) \, dq \\ &- \mu \int_{\mathbb{R}} u(w(q)) f(q \mid L) \, dq \end{aligned}$$

合并积分项并移出常数项 ($c(H)$, $c(L)$ 和 $\underline u$): $$L = \int_{\mathbb{R}} \left[ q - w(q) + λ u \big(w(q)\big) + \mu u(w(q)) \left(1 - \frac{f(q \mid L)}{f(q \mid H)}\right) \right] f(q \mid H) \, dq - λ \big(c(H) + \underline u\big) - μ c(H)$$

引理: 最优化问题的解中, 约束 IR 和 IC 都是紧的 (即 $λ, \mu > 0$).

证明: IR 约束一定是紧的 (证明同前), 故 $λ > 0$.

反设 $\mu = 0$, 则 (IC) 成为冗余约束, 此时最优工资为固定工资 $w(q) = w^{*}$. 但由于 $c(H) > 0$, 固定工资方案不满足 (IC), 矛盾. QED

最大化拉格朗日函数 $\iff$ 逐点最大化被积分项.

• 关于 $w$ 的一阶条件为: $$-1 + λ u'(w(q)) + \mu \left[ u'(w(q)) - u'(w(q)) \frac{f(q \mid L)}{f(q \mid H)} \right] = 0$$ $$\begin{split} & \implies \left[ λ + \mu - \mu \frac{f(q \mid L)}{f(q \mid H)} \right] u'(w(q)) = 1 \\ & \implies \frac{1}{u'(w(q))} = λ + \mu \left[ 1 - \frac{f(q \mid L)}{f(q \mid H)} \right] \end{split}$$

由单调似然比假设可知, $w(q)$ 关于 $q$ 递增.

• 详细说明: 等式的右侧关于 $q$ 递增, 因此左侧也必须关于 $q$ 递增.
  另外, 由于 $u'(w)$ 随 $w$ 递减, 故 $\frac{1}{u'(w)}$ 随 $w$ 递增. 因此, $w(q)$ 必须关于 $q$ 递增.

连续行动情形

接下来讨论 $A$ 为连续区间的情形.

固定任意工资合同 $w(\cdot)$, 令 $V(a)$ 表示张三选择行动 $a$ 时的期望效用: $$V(a) = \mathbb{E}[u(w(q)) \mid a] - c(a) = \int_{\mathbb{R}} u(w(q)) f(q \mid a) \, dq - c(a)$$

公司的最优化问题如下: $$\begin{split} \max_{a \in A, w(\cdot)} & \mathbb{E}[q - w(q) \mid a] \\ \text{subject to } & V(a) \geq \underline{u} \quad \text{(IR)} \\ & a \in \arg \max_{\tilde{a} \in A} V(\tilde{a}) \quad \text{(IC)} \end{split}$$

一阶方法: 用一阶条件 $V'(a) = 0$ 替代 (IC): $$V'(a) = \int_{\mathbb{R}} u(w(q)) f_a(q \mid a) \, dq - c'(a) = 0$$

• $f_a(q \mid a)$ 表示对 $a$ 求偏导, 即 $\frac{\partial}{\partial a} f(q \mid a)$.

注: 一阶方法大大简化了分析, 但其严格性依赖于额外假设.

• 本讲最后讨论了一阶方法何时适用.

对应的拉格朗日函数 $L(λ, \mu)$ 为: $$\int_{\mathbb{R}} \left[ q - w(q) + λ (u(w(q)) - c(a) - \underline{u}) + \mu \left( u(w(q)) \frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)} - c'(a) \right) \right] f(q \mid a) \, dq$$

逐点最大化被积分项: 固定任意 $q$, 关于 $w$ 的一阶条件为 $$-1 + λ u'(w(q)) + \mu u'(w(q)) \frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)} = 0$$

$$\implies \frac{1}{u'(w(q))} = λ + \mu \frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)}$$

单调似然比(MLR): 对所有 $a_H > a_L$, 似然比 $\frac{f(q \mid a_L)}{f(q \mid a_H)}$ 关于 $q$ 严格递减.

引理: 由单调似然比假设可知, $\frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)}$ 关于 $q$ 递增.

证明: 固定任意 $a_H > a_L$.

由于 $\log \frac{f(q \mid a_L)}{f(q \mid a_H)}$ 随 $q$ 递减 (单调似然比), 所以 $\log f(q \mid a_H) - \log f(q \mid a_L)$ 关于 $q$ 递增.

因此, $$\frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)} = \frac{\partial}{\partial a} \log f(q \mid a) = \lim_{h \to 0} \frac{\log f(q \mid a + h) - \log f(q \mid a)}{h}$$ 关于 $q$ 递增. QED.

进一步证明, 均衡中拉格朗日乘子 $\mu$ 一定为正.

断言: 单调似然比 $\implies \mu > 0$ (即工资关于 $q$ 递增).

证明: 反设 $\mu = 0$, 此时工资 $w(q)$ 独立于 $q$.

令 $\hat{w} \in ℝ$ 为使得 $$\frac{1}{u'(\hat{w})} = λ$$ 成立的工资方案. 则有:

$$\begin{aligned} V'(a) &= \int_{\mathbb{R}} u(w(q)) f_a(q \mid a) \, dq - c'(a) \\ &= \int_{f_a \geq 0} u(w(q)) f_a(q \mid a) \, dq + \int_{f_a \leq 0} u(w(q)) f_a(q \mid a) \, dq - c'(a) \\ &\leq \int_{f_a \geq 0} u(\hat{w}) f_a(q \mid a) \, dq + \int_{f_a \leq 0} u(\hat{w}) f_a(q \mid a) \, dq - c'(a) \\ &= u(\hat{w}) \int_{\mathbb{R}} f_a(q \mid a) \, dq - c'(a) \\ &= u(\hat{w}) \frac{d}{da} \int_{\mathbb{R}} f(q \mid a) \, dq - c'(a) \\ &= u(\hat{w}) \cdot 0 - c'(a) = -c'(a) < 0 \end{aligned}$$

这与一阶条件要求的 $V'(a) = 0$ 矛盾. 因此 $\mu > 0$.

推论: 单调似然比 $\implies$ $\frac{f_a(q \mid a)}{f(q \mid a)}$ 关于 $q$ 递增且 $\mu > 0$
$\implies$ $w(q)$ 关于 $q$ 递增

补充说明: 一阶方法的合理性

前面的分析中, 我们用一阶条件 $V'(a) = 0$ 替代了张三的 IC 约束.

• 但是, 仅满足一阶条件的努力选择不一定是全局最大值.
  • 对于给定的工资方案 $w(q)$, 函数 $V(a)$ 不一定是凹的.
• Mirrlees 提供了一个反例 (见 Bolton 和 Dewatripont 的教材)

如果我们进一步假设分布 $F(q \mid a)$ 关于 $a$ 上是凸的, 一阶条件就是充分的.

凸分布函数假设: 假设 $F(q \mid a)$ 在 $a$ 上是凸的. 则 $$\begin{aligned} V(a) &= \int_{\underline{q}}^{\bar{q}} u(w(q)) f(q \mid a) \, dq - c(a) \\ &= u(w(\bar{q})) \underbrace{F(\bar{q} \mid a)}_{=1} - u(w(\underline{q})) \underbrace{F(\underline{q} \mid a)}_{=0} - \int_{\underline{q}}^{\bar{q}} u'(w(q)) w'(q) F(q \mid a) \, dq - c(a) \\ &= u(w(\bar{q})) - \int_{\underline{q}}^{\bar{q}} \underbrace{u'(w(q))}_{\geq 0} \underbrace{w'(q)}_{\geq 0 \text{ (单调似然比)}} F(q \mid a) \, dq - c(a) \end{aligned}$$

• $V(a)$ 是凹的.

例:

• 假设 $A = [0, 1]$ 且 $F(q \mid a) = a F_H(q) + (1 - a) F_L(q)$,
• 其中 $F_H(q)$ 和 $F_L(q)$ 是某个累积分布函数.
• 因此, $F(q \mid a)$ 关于 $a$ 是线性的 (因此也是凹的).
• 此时, 一阶方法可以确保张三的行动是全局最优的 (即满足激励相容约束).