期望效用: 货币偏好和风险规避

信息经济学
湖南大学课程

货币偏好

前面的课程讨论了张三对于定义在确定性结果 $X$ 上的彩票的偏好.

• 这里的集合 $X$ 是一个很抽象的集合, 它可以包括任何形式的奖励或惩罚
• 比如, 结果可以是奖励一杯奶茶, 一个 iPhone, 一万人民币或《信息经济学》课程加分

本讲我们讨论非常具体的集合: $X = {\mathbb{R}}$

• $X$ 中的元素为货币或财富.

一般用小写字母 $u$ 表示张三的效用函数, 大写字母 $U$ 表示期望效用.

单调性、风险与效用函数

已知 $X = {\mathbb{R}}$, 我们可以对效用函数 $u(x)$ 施加更多（合理的）限制.

• 比如, 可以要求 $u(x)$ 是严格递增的:

  • 若 $x > y$, 则 $u(x) > u(y)$.
  • 单调性是很合理的假设: 张三希望钱越多越好.

• 由于我们讨论的是不确定性下的偏好, 张三对于风险的态度 (风险厌恶或风险喜爱) 也会对效用函数的形式施加进一步的限制

本讲的目的: 分析效用函数 $u(x)$ 如何反映张三的风险态度

风险规避

以下两张彩票, 你更喜欢哪个?

1. 50% 的可能赢 10万, 50% 的可能一无所获
2. 一定赢 5 万

尽管两张彩票的期望回报相同, 但多数人会选彩票2, 因为它的 “风险” 更小.

问: 我们目前为止关于彩票偏好关系的假设 (vNM 三公理和严格单调假设), 可以推导出这种风险规避行为么?

• 不能. 期望效用模型本身不蕴含 “风险规避” 的性质.

如果我们进一步假设张三的 vNM 效用函数是凹的, 张三的行为就满足风险规避.

风险和效用函数的凹凸性

例: $u(x) = \sqrt{x}$, 其中 $x$ 为最终收入.

1. 彩票一: 50% 的可能赢 10万, 50% 的可能一无所获
   期望效用 = $0.5 \times \sqrt{10} + 0.5 \times 0 = \sqrt{2.5}$.

2. 彩票二: 一定赢 5 万
   期望效用 = $\sqrt{5} > \sqrt{2.5}$.

   • 张三会选择彩票二 (一定获得 5 万).

• 给定 $u(x) = \sqrt{x}$, 张三对于彩票一和“一定获得2.5万“ 是无差异的.

• 称 2.5 万是彩票一的确定性等价

Jensen 不等式

Jensen 不等式 (也叫凹函数不等式):

• 若函数 $u:{\mathbb{R}} \rightarrow {\mathbb{R}}$ 是严格凹的, 则对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 和实数 $\alpha \in (0,1)$, 下列不等式成立:

$$u\left( \alpha x_{1} + (1 - \alpha)x_{2} \right) > \alpha u\left( x_{1} \right) + (1 - \alpha)u\left( x_{2} \right).$$

请结合 $u(x) = \sqrt{x}$ 的函数图像, 画图理解该不等式.

Jensen 不等式: 一般情形

Jensen 不等式可以很自然地推广到任意序列 $\left\{ x_{i} \right\}$ 和概率权重 $\left\{ \alpha_{i} \right\}$ 的情形: $$u\left( \sum_{i}\alpha_{i}x_{i} \right) > \sum_{i}\alpha_{i}u\left( x_{i} \right),\mathrm{\text{ 对任意 }}\sum_{i}\alpha_{i} = 1$$

• 如果函数 $u$ 是严格凸的, 则反方向的不等式成立 (凸函数不等式).

• 如果 $u$ 是线性的, 则 $u\left( \sum_{i}\alpha_{i}x_{i} \right) = \sum_{i}\alpha_{i}u\left( x_{i} \right)$.

$u$ 是线性的 $\iff$ 张三是风险中性的

风险态度

定义. 彩票 $p$ 的确定性等价 (certainty equivalent) 为满足下列方程的实数 $x_{p} \in ℝ$: $$u\left( x_{p} \right) = \Sigma_{x \in X}p(x)u(x)$$

• 注: 根据定义, 张三对于彩票 $p$ 和退化彩票 “一定获得 $x_{p}$ 元” 是无差异的: $p \sim \left( 1 \circ x_{p} \right)$.

记 $E\lbrack p\rbrack = \sum_{x \in X}p(x)x$ 为彩票 $p$ 的期望.

定义 (风险态度).

• 若 $x_{p} < E\lbrack p\rbrack$ 对于所有非退化彩票 $p$ 成立, 则张三是风险厌恶的 (risk-averse)

• 若 $x_{p} = E\lbrack p\rbrack$ 对于所有非退化彩票 $p$ 成立, 则张三是风险中性的 (risk-neutral)

• 若 $x_{p} > E\lbrack p\rbrack$ 对于所有非退化彩票 $p$ 成立, 则张三是风险喜爱的 (rish-loving)

由 Jensen 不等式可知:

• 风险规避 $\Leftrightarrow$ $u( \cdot )$ 是严格凹的 ($u''(x) < 0$).

• 风险中性 $\Leftrightarrow$ $u( \cdot )$ 是线性的 ($u''(x) = 0$).

• 喜爱风险 $\Leftrightarrow$ $u( \cdot )$ 是严格凸的 ($u''(x) > 0$).

衡量风险规避的程度

几乎所有经济学研究中, 都假设参与人是风险厌恶或风险中性的.

在保险经济学和金融学等领域, 一般假设参与人是风险厌恶的, 并且会用不同的方式来量化参与人风险厌恶的程度.

我们介绍两个衡量风险厌恶的指标:

• 绝对风险规避

• 相对风险规避

绝对风险规避: 引例

问: 除了风险态度外, 现实中不确定下的决策还和哪些因素有关?

考虑如下两张彩票:

• 彩票 $a$: 一定获得 1 万元
• 彩票 $b$: 1% 可能获 100 万元, 99% 可能获 0.1 万元.

问: 总资产为 1 万的张三会偏好哪个彩票? 总资产为 100 万的李四会偏好哪个彩票?

• 决策者的选择会如何取决于其已有财富 $w$?

绝对风险规避: 定义

张三拥有财富 $w \in {\mathbb{R}}$, 他面临两个选择:

1. 确定获得 $z$ 元
2. 彩票 $p(x)$, 结果集为 $X \subset ℝ$

定义. 如果张三接受彩票 $p$ 的意愿随着财富 $w$ 的增加而增加, 我们称他的绝对风险规避 (ARA, Absolute Risk Aversion) 程度是随财富递减的.

绝对风险规避: 直观解释

现实中, 富人往往比穷人更勇于承担风险:

• 这个现象说明, 大多数人的绝对风险规避程度是 (关于财富) 递减的 (decreasing ARA).

若张三具有递减的绝对风险规避系数, 并且他愿意在财富为 $w_{1}$ 时选择彩票 $p$ 而不是确定性回报 $z$, 那么:

• 当张三的财富上升时, 他仍会选择彩票 $p$.
• 当张三的财富减少时, 他的选择可能变为确定性回报 $z$.
• 上述过程中, 张三的风险偏好 (即效用函数 $u(w)$) 没有变, 只是财富变了.

绝对风险规避系数

绝对风险规避系数 $$A_{u}(w) = - u''(w)/u'(w)$$

• 不引起混淆时, 我们也可以省略下角标 $u$, 直接写成 $A(w)$.

如果 $A(w)$ 是递减的, 则说明张三具有递减的绝对风险规避系数.

• 类似可定义恒定的或递增的绝对风险规避系数.

绝对风险规避系数: 例

计算绝对风险规避系数:

• $u(x) = e^{- \alpha x}$ $\Rightarrow A(x) = \alpha$ (恒定绝对风险规避, CARA).
• $u(x) = \sqrt{x}$ $\Rightarrow A(x) = \frac{1}{2x}$ (递减绝对风险规避).

练习: 记张三和李四的效用函数分别为 $u(x)$ 和 $v(x)$. 若存在递增的严格凹函数 $g$ 使得 $v(x) = g\left( u(x) \right)$, 则称李四比张三更厌恶风险.

证明: 此时李四的绝对风险规避高于张三: $A_{v}(x) > A_{u}(x)$.

从绝对风险到相对风险

如果张三是一个投资者, 前面的分析中, 我们分析的是张三投资时的绝对回报.

• 下面我们用回报率, 而非绝对回报, 来分析张三的决策.

相对风险规避

张三的财富为 $w$, 他面临两个选择:

• 投资国债, 其回报率为确定的 $z > 0$
• 投资股票, 其回报率 $r$ 服从分布 $p$

张三考虑将财富投资于其中一种资产:

• 如果他将所有财富投资于安全资产(国债), 他的效用为 $u\left( w(1 + z) \right)$
• 如果他将所有财富投资于风险资产(股票), 他的期望效用为 $\Sigma_{r}p(r)u\left( w(1 + r) \right)$
• 问: 张三的选择如何取决于他的财富 $w$?

定义. 若张三投资于风险资产的意愿随着财富的增加而增加, 则称他的行为满足相对风险规避 (RRA, relative risk aversion) 递减.

相对风险规避系数: 递减、恒定和递增情形

如果张三的行为满足相对风险规避递减, 并且他在财富为 $w_{1}$ 时选择投资风险资产:

• 那么, 当他的财富上升为 $w_{2} > w_{1}$ 时, 他一定仍投资于风险资产.

类似地, 可以定义递增 RRA 和恒定 RRA.

相对风险规避系数: 定义和例子

相对风险规避系数: $$R_{u}(x) = - xu''(x)/u'(x)$$

• 如果 $R(x)$ 是递减的, 则称张三具有递减的相对风险规避系数.

例子:

• $u(x) = x^{1 - \alpha} \Rightarrow R(x) = \alpha$ (恒定相对风险规避, CRRA).

• $u(x) = e^{- \alpha x} \Rightarrow R(x) = \alpha x$