最优激励合同: 二元情形

• 湖南大学
• 信息经济学课程

委托代理问题

考虑如下委托代理情形:

• 委托人: 公司
• 代理人: 打工人张三
• 公司希望张三能努力干活, 因为努力干活能提高项目的成功概率, 进而提高公司的期望利润.
• 但是, 公司不能直接监督张三是否努力干活 (道德风险)

激励合同

公司可以为项目成功提供额外的激励:

• 项目不成功时, 支付较低工资 $w_{0}$
• 项目成功时, 支付较高工资 $w_{1} > w_{0}$

上面这个形式的合同也可以等价地表述为如下绩效合同的形式:

• 公司支付基本工资 $w_{0}$
• 如果项目成功了, 公司会支付额外绩效 (bonus):
  $b = w_{1} - w_{0}$

无道德风险情形

如果不存在道德风险, 公司支付的工资可以直接由张三的努力程度决定, 而不是由项目是否成功决定.

• 此时, 我们称公司可以直接监督张三的努力程度. 这意味着:
  1. 公司可以直接观测到张三的努力程度, 并且法律上允许公司将员工薪酬取决于员工的努力程度.
  2. 如果双方发生劳资纠纷, 公司可以向法院证明张三确实没有努力工作.

直觉上, 当不存在道德风险问题时, 公司应该直接根据 “张三的努力程度” 来发放绩效, 而不是根据 “项目是否成功” 来发放绩效.

• 问: 为什么从公司的角度出发, 根据 “努力程度” 来发放绩效更为高效? (假设张三是风险厌恶的)

模型设定

考虑如下关于激励合同的极简道德风险模型. 该模型包括:

• 两个可能的代理人行动 (“努力干活”, “消极怠工”)
• 两个可能的产出水平 (“项目成功”, “项目失败”)

上述二元模型是关于激励合同最基础的模型, 后续我们会讨论代理人行动非二元的情形.

张三的行动集为 $A = \{ 0,1 \}$:

• 努力工作: $a = 1$
• 消极怠工: $a = 0$

努力工作会提高项目的成功率, 但会给张三带来负效用.

• 张三的最终效用取决于他的工资 $w \in {\mathbb{R}}$ 和行动 $a \in \left\{ 0,1 \right\}$: $$v(w,a) = u(w) - al = \begin{cases} u(w) - l & \text{ 若 } a = 1 \\ u(w) & \text{ 若 } a = 0 \end{cases}$$
• $u$ 是严格凹的 (张三厌恶风险)
• $l > 0$ 表示努力干活带给张三的负效用

项目可能成功或失败:

• 如果张三消极怠工 ($a = 0$)，成功的概率为 $p_{0} > 0$
• 如果张三努力工作 ($a = 1$)，成功的概率为 $p_{1} > p_{0}$

公司收益:

• 项目失败时, 公司获得利润 $\pi_{0} \geq 0$
• 项目成功时, 公司获得利润 $\pi_{1} > \pi_{0}$;

$2 \times 2 \times 2$ 模型:

• 2种可能行动: $a_{0},a_{1}$

• 2种可能成功概率: $p_{0},p_{1}$

• 2种可能项目收益: $\pi_{0},\pi_{1}$

基准情形: 无道德风险时的最优合同

假设公司可以根据张三的行动 $a \in \left\{ 0,1 \right\}$ 设定工资.

为了让张三能努力工作 ($a = 1$), 公司应支付的最低工资 $w^{\ast}$ 为: $$u\left( w^{\ast} \right) - l = \underline{u}$$

• $\underline{u}$ 为张三辞职所能取得的效用水平 (保留效用).
• $\underline{u}$ 是外生给定的

如果公司选择雇佣张三, 此时的最优合同如下:

• 若张三努力工作, 支付工资 $w^{\ast}$;
• 否则, 不支付任何工资 (甚至可以对张三进行 “罚款”)

道德风险下的激励设计

存在道德风险时, 公司需设计绩效工资合同 $\left( w_{1},w_{0} \right)$ 来激励张三努力干活.

• $w_{0}$: 项目失败时张三的工资
• $w_{1}$: 项目成功时张三的工资

绩效工资合同应满足两个约束:

1. 激励相容 (Incentive Compatibility, IC)
2. 个体理性 (Individual Rationality, IR), 该约束也叫 参与约束

激励相容约束和个体理性约束是本讲的核心概念. 具体而言:

• 激励相容约束确保张三会努力干活, 而不是消极怠工
• 个体理性约束确保张三会接受公司合同, 而不是辞职

激励相容约束

定义 (激励相容). 称工资合同 $\left( w_{1},w_{0} \right)$ 是激励相容的, 若张三选择接受合同时, 他会努力干活 ($a=1$) 而非消极怠工 ($a=0$).

• 激励相容约束的数学表示: $$p_{1}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)u\left( w_{0} \right) - l \geq p_{0}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{0} \right)u\left( w_{0} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left( p_{1} - p_{0} \right)\left\lbrack u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \right\rbrack \geq l$$

• 文字解释: 张三努力干活的边际收益大于边际成本.

$$\left( p_{1} - p_{0} \right)\left\lbrack u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \right\rbrack \geq l\quad\quad\text{ (IC) }$$

决定张三是否干活的, 是 $\Delta u = u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \approx u'\left( w_{0} \right)\left( w_{1} - w_{0} \right)$.

• 它取决于合同 $\left( w_{1},w_{0} \right)$ 本身以及张三的货币偏好 $u$.

个体理性约束 (or, 参与约束)

个体理性约束 (也叫参与约束):

• 张三接受合同的效用不会低于他辞职的保留效用 ($\underline{u}$)

对于满足激励相容约束的合同$\left( w_{1},w_{0} \right)$, 它对应的个体理性约束为: $$p_{1}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)u\left( w_{0} \right) - l \geq \underline{u}$$

• 当张三的保留效用 $\underline{u}$ 变大时, 为了让张三能投入工作, 公司必须支付更高的工资.

公司的效用函数

公司的目标: 最大化期望利润 $$p_{1}\left( \pi_{1} - w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)\left( \pi_{0} - w_{0} \right)$$

• 隐含假设: 委托人是风险中性的.
• 关于 “风险中性委托人” 假设的常用辩护:
  1. 这个假设是符合现实的. 委托人 (如大公司、股东) 可以通过投资组合多样化来分散特定项目的风险, 对单个项目的风险可以近似视为风险中性; 但代理人通常无法分散与自身工作相关的风险 (如薪酬波动、失业风险等)
  2. 技术性解释: 如果委托人也是风险厌恶的, 那么合同设计就同时包含风险分担和激励两个目标, 问题会变得 (不必要地) 复杂; 假设委托人风险中性, 可以将分析聚焦于激励问题本身.

公司的最优化问题

公司的最优化问题: 选择满足激励相容约束和个体理性约束的合同 $\left( w_{1},w_{0} \right)$ 来最大化期望利润.

$$\max\limits_{w_{1},w_{0} \in {\mathbb{R}}}p_{1}\left( \pi_{1} - w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)\left( \pi_{0} - w_{0} \right)$$ subject to: $$p_{1}u\left( w_{1} \right) + \left( 1 - p_{1} \right)u\left( w_{0} \right) - l \geq \underline{u}\quad\text{ (IR) }$$ $$\left( p_{1} - p_{0} \right)\left\lbrack u\left( w_{1} \right) - u\left( w_{0} \right) \right\rbrack \geq l\quad\text{ (IC) }$$

• 记这个带约束的最优化问题为 $\mathcal{M}$.